Tasa de variación media
Consideremos una función y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas
y
, siendo
un número real que corresponde al incremento de
(
).
Se llama tasa de variación (TV) de la función en el intervalo , que se representa por
, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de las abscisas
y
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \Delta y = f(a + h) - f(a)](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94eab22753bcca788226400c91be63b4_l3.png)
![Gráfica sobre la tasa de variación en una función.](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/tasa-de-variacion-media.gif)
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (TVM) en intervalo , representada por
o
, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas,
o
, esto es:
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \text{{\bf TVM}}[a, a + h] = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41efc118c1e74aecf222eb8dd14a9793_l3.png)
Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función , que pasa por los puntos de abscisas
y
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle m = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cce8d33f7f097340b0b09a388144f9c1_l3.png)
ya que en el triángulo , de la imagen anterior, resulta que:
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \tan (\alpha) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c14d98a4cfe6dd590bb4d9ff0249244_l3.png)
Ejemplos
1. Calcular la TVM de la función en el intervalo
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{align*} \text{{\bf TVM}}[1, 4] &= \frac{f(4) - f(1)}{3}\\ &= \frac{12 - 0}{3}\\ &= 4 \end{align*}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-329dd8790c8512e9075304641c3667d7_l3.png)
2. El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de a
. Hallar la tasa de variación media mensual.
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{align*} \text{{\bf TVM}} &= \frac{1510 - 1350 }{12}\\ &= \frac{160}{12}\\ &= 13.33 \end{align*}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f043c2fd8cc9ce5eee3730a9a64c5d93_l3.png)
Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-2.gif)
Ejemplos
1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-3.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-4.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-5.gif)
2. Calcular la derivada de la función f(x) = x² + 4x − 5 en x = 1.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-6.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-7.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-8.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/concepto-de-derivada-9.gif)
Interpretación geométrica de la derivada
![Interpretacion geometrica de la derivada grafica y elementos](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-geometrica-de-la-derivada.gif)
Cuando tiende a
, el punto
tiende a confundirse con el
. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función
en
, y por tanto el ángulo
tiende a ser
.
![Rendered by QuickLaTeX.com {tg\; \beta = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\Delta y}{h}=f'(a)}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3822277329d8d400abda9f7bf879e8ba_l3.png)
![Interpretacion geometrica de la derivada](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-geometrica-de-la-derivada-3.gif)
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
![Rendered by QuickLaTeX.com {m_t=f'(a)}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8b06292d1116d32da141be2b678e0069_l3.png)
Ejemplo:
Dada la parábola , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
1 La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación , por tanto su pendiente es
.
2 Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
.
3 Calculamos la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto
![Rendered by QuickLaTeX.com {f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h \to 0}(2a+h)=2a}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-11f300be4b2fc4d7022f1c77d6243f25_l3.png)
4 Igualamos ambas expresiones para la pendiente
![Rendered by QuickLaTeX.com {2a = 1}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-176d1c1c5af29335510f2b410a38ab9e_l3.png)
5 Al resolver obtenemos la primera coordenada del punto
![Rendered by QuickLaTeX.com {2a = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{1}{2}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a0a451c312b995ad6fe07cb1a509a855_l3.png)
6 La segunda coordenada del punto la obtenemos sustituyendo el valor de en la función
![Rendered by QuickLaTeX.com {f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}=\displaystyle\frac{1}{4}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a419f0fdba6bb6fc4c75458889cfda1_l3.png)
![Ejemplo interpretacion geometrica de la derivada](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-geometrica-de-la-derivada-7.gif)
Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada-2.gif)
Velocidad instantánea
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada-3.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada-4.gif)
Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t². Calcular:
1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada-5.gif)
2. La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada-6.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada-7.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/interpretacion-fisica-de-la-derivada-8.gif)
Definición de derivada
Existen varias formas de definir la derivada, estás tienen que ver con geometría, física, economía, pero al final todas son la misma.
Desde el punto de vista geométrico, la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función. La derivada de una función viene dada por
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d77d00aec1477854d4d30359b3a50e2_l3.png)
Se dice que la derivada de existe si el límite existe; en caso de que el límite no exista, se dice que la derivada no existe.
Ejercicio de derivada de una función lineal
1Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & 3(x + h) - 7 \\\\ & = & 3x + 3h -7 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e360140c555310fcbcb282a6f38a75d_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(3x + 3h -7) - (3x - 7)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3h}{h} \\\\ & = & 3 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f38bc8144d26af63b087f3e81fd385c_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} 3 \\\\ & = & 3 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-008722e49c6d49062d331d4f51f199a8_l3.png)
Ejercicios de derivadas de funciones cuadráticas
2Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^2 - (x + h) + 1 \\\\ & = & x^2 + 2xh + h^2 - x - h + 1 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3cd04760e074616ccdab40f3f896733b_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - x - h + 1) - (x^2 - x + 1)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2xh + h^2 - h}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(2x + h - 1)}{h} \\\\ & = & 2x + h - 1 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c55b9049878f3ec92bc679ee80774bd0_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h - 1) \\\\ & = & 2x - 1 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca73c46ab7b27ae375b1a3171ef4237e_l3.png)
3Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & 3(x + h)^2 + 5(x + h) - 2 \\\\ & = & 3(x^2 + 2xh + h^2) + 5(x + h) - 2 \\\\ & = & 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h - 2 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b23d8f76de2cf93b867874f3fca9730_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h - 2) - (3x^2 + 5x - 2)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{6xh + 3h^2 + 5h}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(6x + 3h + 5)}{h} \\\\ & = & 6x + 3h + 5 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f755531452695c17ec9f2124a098347_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (6x + 3h + 5) \\\\ & = & 6x + 5 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54efdde0f10f9534d00a07e9929a7b3b_l3.png)
Ejercicios de derivadas de funciones cúbicas
4Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^3 + 8 \\\\ & = & x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c264805e657b42ca36f4c6143142f126_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8) - (x^3 + 8)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \\\\ & = & 3x^2 + 3xh + h^2 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0c39de428465b12b56d0c3d4b656320_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) \\\\ & = & 3x^2 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49dbf18b586019c6cb912a1bdf6891ae_l3.png)
5Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^3 + 8(x + h)^2 - 1 \\\\ & = & x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8x^2 + 16xh + 8h^2 - 1 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4136a4605558526f98df9968c0ed90f7_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8x^2 + 16xh + 8h^2 - 1) - (x^3 + 8x^2 - 1)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 16xh + 8h^2}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h)}{h} \\\\ & = & 3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1f744a0dbec9f328c585905f8a812dd_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h) \\\\ & = & 3x^2 + 16x \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1000fc75bdc950234cb5f108092ec09d_l3.png)
Ejercicio de derivadas de cocientes
6Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{3}{x + h - 1} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91bbd93881fe2799dab47c255a39ccc3_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x + h - 1} - \displaystyle \frac{3}{x - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(3x - 3) - (3x + 3h - 3)}{(x - 1)(x + h - 1)}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-3h}{(x - 1)(x + h - 1)}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-3}{(x - 1)(x + h - 1)} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c485cd42932d308a75d58fc78d259067_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-3}{(x - 1)(x + h - 1)} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{3}{(x - 1)^2} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90531990c69da6dad8a64d47723c3fb4_l3.png)
7Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{(x + h)^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a033e1b56bcc2065d364118b51d97eb_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} - \displaystyle \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(x^2 + 2xh + h^2 + 1)(x^2 - 1)-(x^2 + 1)(x^2 + 2xh + h^2 - 1)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-4xh - 2h^2}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-h(4x + 2h)}{h(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-(4x + 2h)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfa2229c6ae98bd8b9891fa1a5293cdd_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-(4x + 2h)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{4x}{(x^2 - 1)^2} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-934145c040bee23c4b30c65dca9891cf_l3.png)
Ejercicios de derivadas de raíces
8Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \sqrt{3(x + h) - 1} \\\\ & = & \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b8acabd4bb96fdd8428bfa594e52dd3_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y racionalizamos para tratar con el denominador
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} - \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} - \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{h} \cdot \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{(3x + 3h - 1) - (3x - 1)}{h\left( \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3h}{h\left( \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-553efa7b5beffb44c3af73c9ac8d1dfd_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a849efe23566f40c09e2278aecd1377_l3.png)
9Encontrar la derivada mediante límites de
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3(x + h) - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x + 3h - 1}} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-77093da1e3caf2adae7a53f2691d6c24_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada y racionalizamos para tratar con el denominador
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x + 3h - 1}} - \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x - 1}}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(\sqrt{3x - 1} - \sqrt{3x + 3h - 1})}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(\sqrt{3x - 1} - \sqrt{3x + 3h - 1})}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})} \cdot \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1}}{\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5[(3x - 1) - (3x + 3h - 1)]}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})\left( \displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(-3h)}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})\left( \displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-15}{(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})(\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1})} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-984dc0e38147c9335f8628945f535ffb_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-15}{(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})(\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1})} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{15}{2\sqrt{(3x - 1)^3}} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0386979a99f00335f8253d1a972b53d8_l3.png)
Ejercicio donde no existe la derivada
10Encontrar la derivada mediante límites de en
Solución
1Encontramos
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle |3(x + h)| \\\\ & = & \displaystyle |3x + 3h| \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bc5a1f50e8756c9878ff3fc66eefc23_l3.png)
2Calculamos el cociente de la definición de derivada
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{|3x + 3h| - |3x|}{h} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4759c52cb806cecfa353d000bac7d9c_l3.png)
3La derivada resulta de calcular el límite cuando tiende a cero al cociente anterior en
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} f'(0) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{|3(0) + 3h| - |3(0)|}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|3h|}{h} \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d68d61d25695d8cb7da1ec19488a16c2_l3.png)
4La función valor absoluto se expresa de la forma
![](https://escueladelmarquesado.wordpress.com/wp-content/uploads/2020/12/image-152.png?w=229)
Así, los límites laterales para no son iguales
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{|3h|}{h} = 3, \ \ \ \ \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{|3h|}{h} = -3 }](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d22542039ef6123e8b533150acdee97a_l3.png)
y por tanto la derivada de en
no existe
Derivadas laterales
Derivada por la izquierda
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales.gif)
Derivada por la derecha
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-2.gif)
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
Ejemplos
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-3.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-4.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-5.gif)
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-6.gif)
Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.
Estudiar la derivabilidad de la función:
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-7.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-8.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-9.gif)
No es derivable en x = 0.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivadas-laterales-10.gif)
Derivabilidad y continuidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.
Ejemplos
Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:
1.
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-2.gif)
La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-3.gif)
2.
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-5.gif)
La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-6.gif)
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-7.gif)
Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 0.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-8.gif)
3. f(x) = x² en x = 0.
La función es continua en x = 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-9.gif)
En x = 0 la función es continua y derivable.
![](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/uploads/2019/05/derivabilidad-y-continuidad-10.gif)