NUMEROS REALES

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

 = 3.141592653589…

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459…

El número áureo, Φ, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Operaciones de números reales

1

Suma de números realesPropiedades:

1 Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b  

 +   

2 Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3 Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4 Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

 + 0 = 

5 Elemento opuesto:

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(−) = 

2

Diferencia de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

     a − b = a + (−b)

3

Producto de números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

Propiedades:

1º Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

     a · b  

2º Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

     (a · b) · c = a · (b · c)

     (e ·  ) ·  = e · ( ·)

3º Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

     a · b = b · a

4º Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

     a ·1 = a

 · 1 =

5º Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6º Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

      · (e + ) =  · e +  · 

7º Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

     a · b + a · c = a · (b + c)

 · e + ·  =  · (e + )

4

División de números reales

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Definición de intervalo

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

     (a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

     [a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

     (a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

     [a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Nomenclatura para varios conjuntos

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo  (unión) entre ellos.

Semirrectas

Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

     (a, +∞) = {x   / a < x < +∞}

x ≥ a

     [a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}

x < a

     (-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}

x ≤ a

     (-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}

Valor Absoluto

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2 < x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< 2 ó x>2     (−∞, 2 )  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades:

1º Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

     |a| = |−a|

Ejemplo: |5| = |−5| = 5

2º El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

     |a · b| = |a|· |b|

Ejemplo:

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|

|−10| = |5| · |2|

 10 = 10

3º El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

     |a + b| ≤ |a| + |b|

Ejemplo:

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|

|3| = |5| + |2| 

 3 ≤ 7

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

     d(a, b) = |b − a|

Ejemplo:

La distancia entre −5 y 4 es:

d(−5, 4) = |4 − (−5)| =

= |4 + 5| = |9| 

Definición de entorno

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

Er(a) = (a-r, a+r)

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

Er(0) = (-r, r) se expresa también |x|<r, o bien,

-r < x < r.

Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<r, o bien,

a − r < x < a+r.

Entornos laterales

Por la izquierda

Er(a–) = (a-r, a]

Por la derecha

Er(a+) = [a, a+r)

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

E r*(a) = { x (a − r, a + r), x ≠ a}

Potencias con exponentes enteros

Potencia con exponente entero positivo

Por notación, cuando en una potencia el exponente es entero positivo, tenemos que

  • a^b = \underbrace{a\cdots a}_{b \; \text{veces}},
  • -a^b = -(\underbrace{a\cdots a}_{b \; \text{veces}}),
  • (-a)^b = \underbrace{(-a)\cdots (-a)}_{b \; \text{veces}}.

Para determinar el signo de una potencia con exponente entero tendremos en cuenta que:

1º  Las potencias con exponente par son siempre positivas. Esto quiere decir que, si tenemos una potencia a^b, entonces:

  • Si a es positivo y b es par, entonces a^b es positivo.
  • Si a es negativo y b es par, entonces a^b es positivo.

Ejemplo:

2^2 = 2 \cdot 2 = 4
(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4
(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625

2º  Las potencias con exponente impar siempre tienen el mismo signo que su base. Esto quiere decir que, si tenemos una potencia a^b, entonces:

  • Si a es positivo y b es impar, entonces a^b es positivo.
  • Si a es negativo y b es impar, entonces a^b es negativo.

Ejemplo:

2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8
(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8
(-5)^5 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 3125

Potencia con exponente entero negativo

Una potencia con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base de la potencia elevado al exponente positivo (siempre que la base sea distinta de cero). Así, tenemos que

\displaystyle a^{-b} = \left( \frac{1}{a}\right)^b = \frac{1}{a^b}, \quad a \neq 0.

Y para \displaystyle \left( \frac{1}{a}\right)^b se cumplen las mismas propiedades mencionadas anteriormente para exponentes positivos.

Ejemplo:

\displaystyle 2^{-2} = \left( \frac{1}{2}\right)^2 =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\displaystyle (-2)^{-3} = \left( -\frac{1}{2}\right)^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}

Potencias de números racionales

Potencia de número positivo

Cuando en una potencia la base es fraccionaria, elevamos tanto el numerador como el denominador al exponente.

\displaystyle \left( \frac{c}{d}\right)^b = \frac{c^b}{d^b}

Ejemplo:

\displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}

Potencia con base fraccionaria y exponente negativo

Una potencia con base fraccionaria y exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base elevado al exponente positivo. Recordemos que el inverso de una fracción es igual a cambiar el numerador y el denominador entre sí, esto es, el inverso de \displaystyle\frac{c}{d} = \frac{d}{c}. Por lo tanto, tenemos que

\displaystyle \left( \frac{c}{d}\right)^{-b} = \left( \frac{d}{c}\right)^{b} = \frac{d^b}{c^b}

Ejemplo:

\displaystyle \left( \frac{2}{5}\right)^{-3} = \left( \frac{5}{2}\right)^{3} = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}

Potencia con exponente racional o fraccionario

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y el exponente del radicando es el numerador.

Potencia de exponente racional positivo

\displaystyle a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^{n}}

Ejemplos:

\displaystyle 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}
\displaystyle 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}
\displaystyle 2^{0.25} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}

En este caso pasamos el exponente que es un decimal exacto a su fracción equivalente.

Potencia de exponente racional negativo

Al igual que en los casos anteriores, cuando el exponente es fraccionario negativo, es equivalente a elevar el inverso multiplicativo de la base al exponente positivo. Así, tendríamos que

\displaystyle a^{-\frac{n}{m}} = \left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{n}{m}} = \frac{1}{a^{\frac{n}{m}}} = \frac{1}{\sqrt[m]{a^n}}

Ejemplo:

\displaystyle 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Propiedades de potencias

Un número elevado a 0 es igual a 1.

a^0 = 1.

Por ejemplo: 7^0 = 1.

Un número elevado al exponente 1 es igual a sí mismo.

a^1 = a.

Por ejemplo: 7^1 = 7.

Producto de potencias con la misma base.

Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base, el resultado es otra potencia con la misma base elevada a la suma de los exponentes originales.

a^n \cdot a^m = a^{n + m}.

Ejemplo:

(-2)^2 \cdot (-2)^3 = (-2)^5 = -32.
2^4 \cdot 2^{-1} = 2^{(4+(-1))} = 2^3 = 8.

División de potencias con la misma base

Cuando tenemos la división de dos potencias con la misma base, el resultado es otra potencia con la misma base elevada al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}.

Ejemplo:

\displaystyle \frac{(-2)^2}{(-2)^3} = (-2)^{(2 - 3)} = (-2)^{-1} = \frac{1}{(-2)^1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}.

\displaystyle \frac{2^2}{2^{-1}} = 2^{(2-(-1))} = 2^3 = 8.

Potencia de una potencia

Cuando tenemos una potencia de una potencia, el resultado es otra potencia con la misma base elevada al producto de los exponentes.

\left( a^n \right)^m= a^{n\cdot m}.

Ejemplo:

\left( 2^2 \right)^3= 2^{2\cdot 3} = 2^6 = 64.

\displaystyle ((-2)^2)^{-2} = (-2)^{2 \cdot (-2)} = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}.

Producto de potencias con el mismo exponente

Cuando tenemos la multiplicación de dos potencias con el mismo exponente, el resultado es una nueva potencia en donde la base es la multiplicación de las bases originales elevada al mismo exponente.

a^n \cdot b^n = \left( a \cdot b \right)^n.

Ejemplo:

2 ^2 \cdot 3^2 = \left( 2 \cdot 3\right)^2 = 6^2 = 36.
(-2)^3 \cdot 2^3 = \left( (-2) \cdot 2\right)^3= (-4)^{3} = -64.

Cociente de potencias con el mismo exponente

Cuando tenemos el cociente de dos potencias con el mismo exponente, el resultado es una nueva potencia en donde la base es el cociente de las bases originales elevada al mismo exponente.

\displaystyle \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n.

Ejemplo:

\displaystyle \frac{(-6)^3}{2^3} = \left( \frac{-6}{3} \right)^3 = (-2)^3 = -8.
\displaystyle \frac{6^2}{2^2} = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 3^2 = 9.

Radicales, sus propiedades y operaciones con radicales

Un radical es una expresión de la forma \sqrt[n]{a}, en la que n \in \mathbb{N} y a \in \mathbb{R}. Además, si n es par, entonces a no puede ser negativo (a \geq 0).

Por ejemplo, tenemos que 2 es par. Por lo tanto, \sqrt{64} = 8; mientras que \sqrt{-64} \notin \mathbb{R}.

Asimismo, como 3 es impar, entonces \sqrt[3]{8} = 2 y \sqrt[3]{-8} = -2. Es decir, la raíz cúbica está definida para cualquier número real.

Partes de un radical

dibujo de las partes de un radical mostrando coeficiente, indice y radicando

Potencias y radicales

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}

Ejemplo:

Ponemos en forma de potencia al 256, 256 = 2^8

El índice del radical (2) se transforma en el denominador y el exponente del radicando (8) en el numerador y efectuamos las operaciones:

\displaystyle \sqrt{256} = \sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

\displaystyle a^{m/n} = a^{(km)/(kn)} \qquad \to \qquad \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Ejemplo

\sqrt{2}=\sqrt[3\cdot 2]{2^{3\cdot 1}}=\sqrt[6]{2^{3}}

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Ejemplos

1º  Simplificar \sqrt[6]{256}

Ponemos en forma de potencia al 256, 256 = 2^8

Para simplificar el radical dividimos por 2 tanto el índice (6) como el exponente del radicando (8)

\sqrt[6]{256}= \sqrt[6]{2^8} = \sqrt[3]{2^4}

2º  Simplificar \displaystyle \sqrt[4]{2^6 \cdot 3^{10} }

Para simplificar el radical dividimos por 2 tanto el índice (4) como los exponentes del radicando (6 \textup{ y }10)

\displaystyle \sqrt[4]{2^6 \cdot 3^{10} }= \sqrt{2^3 \cdot 3^5}

Reducción a índice común

Para reducir a común índice dos a más radicales:

1º  Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2º   Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

Ejemplo:

Poner a común índice los radicales:

\displaystyle \sqrt{2}, \quad \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}, \quad \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}

En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: 2, 3 y 4

\displaystyle \text{mcm}(2, 3, 4) = 12

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

\displaystyle \sqrt[12]{2^6}, \quad \sqrt[12]{(2^2)^4 \cdot (3^2)^4}, \quad \sqrt[12]{(2^2)^3 \cdot (3^3)^3}

Operamos con las potencias

\displaystyle \sqrt[12]{2^6}, \quad \sqrt[12]{2^8 \cdot 3^8}, \quad \sqrt[12]{2^6 \cdot 3^9}

Extracción de factores en un radical

Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente del radicando es menor que el índice

El factor correspondiente se deja en el radicando.

Ejemplos:

1º \displaystyle \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}

2º \displaystyle \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2}

Un exponente del radicando es igual al índice

El factor correspondiente sale fuera del radicando.

Ejemplos:

1º \displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2 \sqrt{3}

Descomponemos 12 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

2º \displaystyle \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2

Descomponemos 8 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

Un exponente del radicando es mayor que el índice

Se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando

Ejemplos:

1º  \sqrt{48}

El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (4) entre el índice (2)

\sqrt{48}= \sqrt{2^4 \cdot 3} = 2^2\sqrt{3} = 4 \sqrt{3}

El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (0) es el exponente del factor dentro del radicando.

Como el factor 2^0 es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía

En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando

2º  \sqrt[3]{243}

Descomponemos en factores: 243 = 3^5

El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (5) entre el índice (3).

El cociente obtenido (1) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (2) es el exponente dentro del radicando

\sqrt[3]{243}= \sqrt[3]{3^5} = 3\sqrt[3]{3^2} = 3 \sqrt[3]{9}

3º  \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}

Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes (2 y 5) por el índice (2).

Cada uno de los cocientes 1 y 2 obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos 0 y 1serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5} = 3 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5} = 75 \sqrt{10}

4º \displaystyle \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4} = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 3^2} = 270\sqrt[4]{72}

Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes (7, 14 y 4) por el índice (4).

Cada uno de los cocientes (1, 3, 1) obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (3, 2, 0) serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

Introducción de factores en un radical

Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.

\displaystyle a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b}

Ejemplos:

1º \displaystyle 2\sqrt{3}

Como el índice es 2, el factor fuera del radical (2) se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones

\displaystyle 2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}

2º \displaystyle 2^2 \cdot 3^3 \sqrt[4]{6}

Tanto el 2^2 como el 3^3 se introducen elevados a la cuarta potencia, es decir,

\displaystyle \sqrt[4]{(2^2)^4 \cdot (3^3)^4 \cdot 2 \cdot 3}

Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes

\displaystyle 2^2 \cdot 3^3 \sqrt[4]{2 \cdot 3} = \sqrt[4]{2^9 \cdot 3^{13} }

Multiplicamos las potencias con la misma base

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.

\displaystyle a\sqrt[n]{k} + b\sqrt[n]{k} + c\sqrt[n]{k} = (a + b + c)\sqrt[n]{k}

Ejemplos:

1º \displaystyle 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}

Sumamos los coeficientes de los radicales

\displaystyle (2 - 4 + 1)\sqrt{2} = -\sqrt{2}

2º \displaystyle 3\sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}

Sumamos los coeficientes de los radicales

\displaystyle (3 - 2 - 1)\sqrt[4]{5} = 0

3º \displaystyle \sqrt{12} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{75}

Descomponemos en factores los radicandos:

\displaystyle 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 75 = 3 \cdot 5^2

De manera que las raíces son

\displaystyle \sqrt{2^2 \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2\sqrt{5^2 \cdot 3}

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

\displaystyle 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 10\sqrt{3}

Sumamos los coeficientes de los radicales

\displaystyle 9\sqrt{3}

4º \displaystyle \sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64}

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

\displaystyle 4 = 2^2, \quad 8 = 2^3, \quad 64 = 2^8

De manera que

\displaystyle \sqrt[4]{2^2} + \sqrt[6]{2^3} - \sqrt[12]{2^6}

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por 2, en el segundo por 3 y en el tercero por 6

\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2}

Sumamos los coeficientes de los radicales

\displaystyle \sqrt{2}

Ejemplos de ejercicios de suma y resta de radicales

\displaystyle 2\sqrt{12} - 3\sqrt{75} + \sqrt{27}
\displaystyle 2\sqrt{2^2 \cdot 3} - 3\sqrt{3 \cdot 5^2} + \sqrt{3^3} = 4\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -8\sqrt{3}
\displaystyle \sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486} = \sqrt{2^3 \cdot 3} - 5\sqrt{6} + 2\sqrt{2 \cdot 3^5} = 2\sqrt{6} - 5\sqrt{6} + 9\sqrt{6} = 6\sqrt{6}
\displaystyle 2\sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80} = 2\sqrt{5} + \sqrt{3^2 \cdot 5} + \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5} - \sqrt{2^4 \cdot 5} =
\displaystyle \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^3} - \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} =
\displaystyle = 3 \sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}
\displaystyle \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}} =
\displaystyle = \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} + \sqrt[6]{2^2} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}
\displaystyle = 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2 \cdot \sqrt[3]{2}}}
\displaystyle = 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{15}{2} \sqrt[3]{2}

Multiplicación de radicales con el mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

\displaystyle \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}

Ejemplo:

\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}
\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Multiplicación de radicales con distinto índice

Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.

Ejemplos:

1º  \displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27} =

Descomponemos en factores los radicandos

\displaystyle = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[4]{3^3}

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

\displaystyle \text{m.c.m.}(2, 3, 4) = 12

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 ,4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2 ,3). Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

\displaystyle = \sqrt[12]{3^6} \cdot \sqrt[12]{\left( 3^2 \right)^4} \cdot \sqrt[12]{\left( 3^3 \right)^3} = \sqrt[12]{3^6 \cdot 3^8 \cdot 3^9} = \sqrt[12]{3^{23}} = 3 \sqrt[12]{3^{11}}

2º \displaystyle \sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36} =

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices

\displaystyle \text{m.c.m.}(2, 3) = 6

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (2 , 3) y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes

\displaystyle \sqrt[6]{12^3} \cdot \sqrt[6]{36^2} = \sqrt[6]{\left( 2^2 \cdot 3 \right)^3 \cdot \left( 2^2 \cdot 3^2 \right)^2} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[6]{2^{10} \cdot 3^7} = 6\sqrt[6]{2^4 \cdot 3}

Descomponemos en factores 12 y 36, realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores

División de radicales con el mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

Ejemplo:

\displaystyle \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}} = \sqrt[6]{\frac{128}{16}} = \sqrt[6]{\frac{2^7}{2^4}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2}

Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice

Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por 3

División de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Ejemplos:

1º \displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} =

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. \text{m.c.m.}(3, 2) = 6.

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1)

Descomponemos el 4 en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos

\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{\left(2^2 \right)^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{2^4}{2^3}} = \sqrt[6]{2}

2º  \displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} =

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

\displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{\frac{256^3}{16^2}} = \sqrt[6]{\frac{\left( 2^8 \right)^3}{\left( 2^4 \right)^2}} = \sqrt[6]{\frac{2^{24}}{2^8}}

Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores

\displaystyle = \sqrt[6]{2^{16}} = \sqrt[3]{2^8} = 2^2 \sqrt[3]{2^2} = 4 \sqrt[3]{4}

Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

\displaystyle \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}

Ejemplo:

1º  \displaystyle \left( \sqrt[3]{18} \right)^2 =

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

\displaystyle\left(\sqrt[3]{18} \right)^{2}=\sqrt[3]{18^{2}}=\sqrt[3]{(2\cdot 3^2)^2}=\sqrt[3]{2^2\cdot 3^4}=3\sqrt[3]{12}

2º  \displaystyle \left( \frac{\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[4]{18}}{\sqrt{6}}\right)^4 =

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el 18 del radical

\displaystyle \left( \frac{\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[4]{18}}{\sqrt{6}}\right)^4 =\frac{\sqrt[3]{(12)^4}\cdot \sqrt[4]{(18)^4}}{\sqrt{(6)^4}}=\frac{\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^4}\cdot 18}{\sqrt{(2\cdot 3)^4}}

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

= \displaystyle \frac{18 \sqrt[3]{2^8 \cdot 3^4}}{\sqrt{2^4 \cdot 3^4}}=18 \sqrt[6]{\frac{(2^8 \cdot 3^4)^2}{(2^4 \cdot 3^4)^3}}=18 \sqrt[6]{\frac{2^{16} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^{12}}}

Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

\displaystyle 18\sqrt[6]{\frac{2^4}{3^4}}=18\sqrt[3]{\frac{2^2}{3^2}}=18\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2}

3º Escribir en forma de radical las potencias:

\displaystyle 9^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{9}
\displaystyle 5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}
\displaystyle 12^{0.2}=12^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{12}

4º Expresar como potencia fraccionaria

\displaystyle \frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}=x^{-\frac{1}{5}}
\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}=x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{6}}
\displaystyle \sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[5]{x^{2}}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{5}}=x^{\frac{15+10+12}{30}}=x^{\frac{37}{30}}

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\dot m]{a}

Ejemplo:

1º  \displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}

Multiplicamos los índices

\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}=\sqrt[24]{2}

2º  \displaystyle \sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}

Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base

\displaystyle \sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{3}\cdot 2\sqrt[4]{2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{4}\sqrt[4]{2}}}

Introducimos el 2^4en la raíz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices

\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{(2^{4})^{4}\cdot 2}}}=\sqrt[24]{2^{17}}

Racionalización

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones

Podemos distinguir tres casos:

Caso 1

Racionalización del tipo \displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}

Se multiplica el numerador y el denominador por \displaystyle \sqrt{c}

\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\left(\sqrt{c}\right)^{2}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\cdot c}

Ejemplos:

\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{3}

Caso 2

Racionalización del tipo \displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}

Se multiplica numerador y denominador por \displaystyle \sqrt[n]{c^{n-m}}

\displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\sqrt[n]{c^{m}}\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot c}

Ejemplo:

\displaystyle \frac{2}{3\sqrt[5]{4}}=\frac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3\sqrt[5]{2^{2}}\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3 \sqrt[5]{2^{2}\cdot 2^{3}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt[5]{8}}{3}

El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2^{2}

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 2^{5-2} = 2^{3}

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

Caso 3

Racionalización del tipo \displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

\begin{array}{rcl} a+b & \longrightarrow & a-b \\ && \\ -a+b & \longrightarrow & -a-b \\ && \\ a-b & \longrightarrow & a+b \\ && \\ -a-b & \longrightarrow & -a-b \end{array}

También tenemos que tener en cuenta que: «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados«.

\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2

Ejemplos:

1º \displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})

2º  \displaystyle \frac{2}{4-2\sqrt{2}}

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

\displaystyle \frac{2}{4-2\sqrt{2}}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2})}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{16-4\cdot 2}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{8}=\frac{4+2\sqrt{2}}{4}

3º  \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{2}(5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=\frac{2\sqrt{2}(5+2\sqrt{6})}{5^2-(2\sqrt{6})^2}=\frac{10\sqrt{2}+4\sqrt{12}}{25-4\cdot 6}=10\sqrt{2}+8\sqrt{3}

Definición de logaritmos

Seguramente has estudiado ya las potencias y sabes que, por ejemplo:

\[10^{4}=10000\]

Pero, supongamos que quieres encontrar una potencia a la cual elevar al número 10 y que el resultado sea 10000000. Eso se puede escribir de la siguiente forma:

\[10^{x}=10000000\]

¿Podrías despejar la letra » de dicha ecuación?

La ecuación que escribimos es una ecuación exponencial. Para poder despejar la variable »  requerimos utilizar un logaritmo. Un logaritmo es una «operación» o «función» que te devuelve la potencia a la que debes elevar una base dada para obtener un resultado deseado. En nuestro ejemplo, la base es 10 y el resultado deseado es 10000000, por lo que podemos escribir que:

\log_{10}10000000=X

De manera general, podemos expresar la notación logarítmica de la siguiente forma:

\log_{a}X=Y

donde:

a es la base

x es el resultado deseado (también conocido como argumento)

y es la potencia a la que se eleva la base a

A continuación, te mostramos algunos ejemplos de expresiones en notación exponencial y notación logarítmica:

4^{3} = 64
\Rightarrow
\log_{4}64 = 3
\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{25}
\Rightarrow
\displaystyle\log_{5}\frac{1}{25} = -2
\displaystyle 36^{\frac{1}{2}} = 6
\Rightarrow
\displaystyle \log_{36}6 = \frac{1}{2}}

 Cabe destacar que las bases más utilizadas en los logaritmos son  y (Número de Euler, )

Cuando usamos base   no es necesario escribir la base del logaritmo:

\log_{10}A=\log A

Al logaritmo con base  se le conoce como logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y se representa así:

\log_{e}X = \ln X

Propiedades de los logaritmos

1º  El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

\log(A\cdot B) = \log A + \log B

2º  El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor

\displaystyle\log(\frac{A}{B}) = \log A - \log B

3º  El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

\log A^{n} = n\cdot \log A

4º El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz

\displaystyle \log\sqrt[n]{A} = \frac{\log A}{n} = \frac{1}{n}\cdot \log A

De las propiedades  y podemos deducir que:

\displaystyle \log\sqrt[n]{A^{m}} = \frac{m\cdot \log A}{n} = \frac{m}{n}\cdot \log A

5º  El logaritmo base ‘‘ de ‘‘ es ‘‘

\log_{a}a = 1

6º  El logaritmo de  es (Sin importar la base del logaritmo)

\log 1=0

Por lo tanto:

\log 10=1
\ln e=1

7º  El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero

Para      \log X=Y      se cumple que       0″>

Uso de las propiedades de los logaritmos

Cambios de base

Para escribir un logaritmo de base ‘‘ en una expresión equivalente con logaritmo de base ‘‘ podemos realizar lo siguiente:

Sea

\log _{b}N =x

Podemos reescribir la expresión en su notación exponencial como:

b^{x} = N

Aplicando   \log _{a}   en ambos lados de la igualdad:

\log _{a}b^{x} = \log _{a}N

Aplicando la propiedad  y despejando a ‘‘ obtenemos:

x\cdot \log _{a}b=\log _{a}N
\displaystyle x=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

Por lo que:

\displaystyle \log _{b}N=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

Ejemplo: Reescribe el \log _{4}64 en \log _{2}

Aplicando:    \displaystyle \log _{b}N=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

\displaystyle \log _{4}64=\frac{log_{2}64}{\log _{2}4}

Resolver una expresión con operaciones combinadas aplicando las propiedades de los logaritmos

Ejemplo: Resuelve la operación \displaystyle \frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}} aplicando las propiedades de los logaritmos.

Igualemos a ‘‘ la expresión que queremos resolver:

\displaystyle x=\frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}

Como todos los números son potencias de , podemos aplicar \log _{2} en ambos lados:

\displaystyle \log _{2}x=\log _{2}\frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}

Aplicando las propiedades de los logaritmos del lado derecho obtenemos:

\log _{2}x=\log _{2}64+\log _{2}8+\log _{2}128-\log _{2}16^{4}
\log _{2}x=\log _{2}64+\log _{2}8+\log _{2}128-4\cdot \log _{2}16

Resolviendo los logaritmos:

\log _{2}x=6+3+7-4\cdot 4
\log _{2}x=16-16
\log _{2}x=0

Reescribiendo en notación exponencial:

x=2^{0}
x=1

Por lo que:

\displaystyle \frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}=1

Escribir una expresión que contiene operaciones con logaritmos como una expresión que contenga un sólo logaritmo

Ejemplo: Escribe la siguiente operación con logaritmos como una expresión con un solo logaritmo

\log 9+4\cdot \log 27-\log 81

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

\log 9+4\cdot \log 27-\log 81
=\log 9+\log 27^{4}-\log 81
=\log (9\cdot 27^{4})-\log 81
\displaystyle =\log \frac{9\cdot 27^{4}}{81}