ECUACIONES BICUADRADAS

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

{ax^{4}+bx^{2}+c=0}

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES BICUADRADAS

Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio de variable:

{x^{2}=t,}
{x^{4}=t^{2}}

Con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita {t}

{at^{2}+bt+c=0}

Por cada valor positivo de {t} habrá dos valores de {x}:

{x= \pm \sqrt{t}}

EJEMPLOS

1{x^{4}-13x^{2}+36=0}

Realizamos el cambio de variable {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} y obtenemos

{t^{2}-13t+36=0}

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

{t^{2}-13t+36=(t-9)(t-4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=9, \; t=4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3, \; x=\pm 2}

Esta ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales

2{x^{4}+5x^{2}-36=0}

Realizamos el cambio de variable {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} y obtenemos

{t^{2}+5t-36=0}

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

{t^{2}+5t-36=(t+9)(t-4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=-9, \; t=4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3i, \; x=\pm 2}

Esta ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales y dos complejas.

3{x^{4}+13x^{2}+36=0}

Realizamos el cambio de variable {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} y obtenemos

{t^{2}+13t+36=0}

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

{t^{2}-13t+36=(t+9)(t+4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=-9, \; t=-4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3i, \; x=\pm 2i}

Esta ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales, tiene cuatro soluciones complejas.

OTRAS ECUACIONES CON CAMBIO DE VARIABLE

El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:

{ax^{2k}+bx^{k}+c=0}

con {k=3,4,5, \dots, } efectuamos el cambio de variable:

{x^{k}=t,}
{x^{2k}=t^{2}}

Ejemplo:

Resolver la ecuación

{x^{6}-7x^{3}+6=0}

Realizamos el cambio de variable {x^{3}=t, \ \ \ x^{6}=t^{2}} y obtenemos

{t^{2}-7t+6=0}

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

{t^{2}-7t+6=(t-6)(t-1)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=6, \; t=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\sqrt[3]{6}, \; x=1}

Esta ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales.