ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema de ecuaciones es no lineal cuándo al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

Ejemplo:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=25\\ x+y=7 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

PASOS DEL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=25\\ x+y=7 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

1º  Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y=7-x

2º  Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x^2+(7-x)^2=25

3º  Se resuelve la ecuación resultante.

x^2+49-14x+x^2=25
2x^2-14x+24=0
x^2-7x+12=0
\displaystyle x=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}
x_1 =4
x_2 =3

4º  Cada uno de los valores obtenidos se sustituyen en la otra ecuación. Se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x=3 \hspace{2cm} y=7-3 \hspace{2cm} y=4
x=4 \hspace{2cm} y=7-4 \hspace{2cm} y=3

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

\left\{\begin{matrix} x+y=7\\ x\cdot y =12 \end{matrix}\right.

Solución1Despejamos una incógnita de la ecuación de primer grado

y=7-x

2 Sustituimos en la otra ecuación

x\cdot (7-x)=12

Desarrollamos

7x-x^2=12

Notamos que se trata de la ecuación cuadrática

x^2-7x+2=0

3 Resolvemos

Por fórmula general sabemos que

\displaystyle x=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}
x_1 =4
x_2 =3

4 Obtenemos el valor de la otra incógnita

x=4 \hspace{2cm} y=7-4 \hspace{2cm} y=3
x=3 \hspace{2cm} y=7-3 \hspace{2cm} y=4

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\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=169\\ x+y=17 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Solución1Despejamos una incógnita de la ecuación de primer grado

x=17-y

2 Sustituimos en la otra ecuación

(17-y)^2+y^2=169

Desarrollamos

289-34y+y^2+y^2=169
2y^2 -34y+120=0

Notamos que se trata de la ecuación cuadrática

y^2-17y+60=0

3 Resolvemos

Por fórmula general sabemos que

\displaystyle y=\frac{17\pm \sqrt{289-240}}{2}=\frac{17\pm 7}{2}
y_1 =12
y_2 =5

4 Obtenemos el valor de la otra incógnita

y=12 \hspace{2cm} x=17-12 \hspace{2cm} x=5
y=5 \hspace{2cm} x=17-5 \hspace{2cm} x=12

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\left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=x\\ \sqrt{x}+y=5 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Solución1Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones
En este caso no hay de primer grado, pero notamos que x ya está despejada en la primera ecuación.

x=y^2-2y+1

2 Sustituimos en la otra ecuación

\sqrt{y^2-2y+1}+y=5

Despejamos la raíz

\sqrt{y^2-2y+1}=5-y

Elevamos al cuadrado

\left(\sqrt{y^2-2y+1}\right)^2=(5-y)^2

Desarrollamos

y^2-2y+1=25-10y+y^2
10y-2y=25-1

3 Resolvemos

8y=24
y =3

4 Obtenemos el valor de la otra incógnita

y=3 \hspace{2cm} x=3^2-2\cdot 3+1 \hspace{2cm} x=9-6+1=4

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\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=13 \\ \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1 \ \ \ \end{matrix}\right.

Solución1Cambio de variableNotamos que bajo el cambio de variable

\displaystyle u=\frac{1}{x} \hspace{2cm} v=\frac{1}{y}

La ecuación original quedaría

\left\{\begin{matrix} u^2+v^2=13\\ u-v=1 \ \ \ \end{matrix}\right.

2 Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones

u=1+v

3 Sustituimos en la otra ecuación

(1+v)^2+v^2=13

Desarrollamos

1+2v+v^2+v^2=13
2v^2+2v-12=0
v^2+v-6=0

4 Resolvemos

Por fórmula general sabemos que

\displaystyle v=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}
v_1=2
v_2=-3

5 Obtenemos el valor de la otra incógnita

v=2 \hspace{2cm} u=1+2 \hspace{2cm} u=3
v=-3 \hspace{2cm} u=1-3 \hspace{2cm} u=-2

5 Consideramos el cambio de variable que hicimos al principio

Con la solución de v=2

\displaystyle v=2=\frac{1}{y} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=\frac{1}{2}
\displaystyle u=3=\frac{1}{x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=\frac{1}{3}

Con la solución de v=-3

\displaystyle v=-3=\frac{1}{y} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=-\frac{1}{3}
\displaystyle u=-2=\frac{1}{x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=-\frac{1}{2}