DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:

1 En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso {A} (el cual llamamos éxito) y su contrario {\overline{A}} (el cual llamamos fracaso).

2 La probabilidad de que ocurra el suceso {A} es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra; esta probabilidad se representa por {p}.

3 El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

La distribución binomial se suele representar por {B(n, p)}, donde

{n} es el número de pruebas de que consta el experimento,

{p} es la probabilidad de éxito,

La probabilidad de fracaso es {1-p} y la representamos por {q}.

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial {X}, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores {k=0, 1, 2, 3, \dots , n} suponiendo que se han realizado {n} pruebas.

Ejemplo:

Se lanza 10 veces una moneda honrada al aire y se desea obtener 6 caras.

En este caso tenemos que:

{A=\mbox{obtener cara al lanzar una moneda al aire}}
{\overline{A}=\mbox{obtener sello al lanzar una moneda al aire}}
{p=P(A)=\displaystyle\frac{1}{2}}
{q=P(\overline{A})=1-p=\displaystyle\frac{1}{2}}
{n=10}
{k=6}

La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:

{P(X=k)=\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^{k} q^{n-k} }

donde

{n} es el número de pruebas.

{k} es el número de éxitos.

{p} es la probabilidad de éxito.

{q} es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio viene dado por

{ \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \displaystyle\frac{n!}{k! (n-k)!} }

Ejemplo de probabilidad para exactamente k-éxitos

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, 2 hayan leído la novela.

1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2

{n = 4}
{k = 2}
{p = 0.8}
{q = 0.2}

2 La probabilidad de que exactamente 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por {P(X=2)}.

3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial

{\begin{array}{rcl} P(X=2) & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{4!}{(2!)(2!)}(0.64)(0.04) \\ && \\ & = & 0.1536 \end{array}}

Ejemplo de probabilidad para a lo más k-éxitos

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, a lo más 2 hayan leído la novela.

1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2

{n = 4}
{k \le 2}
{p = 0.8}
{q = 0.2}

2 La probabilidad de que a lo más 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por {P(X \le 2)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)}.

3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial

{\begin{array}{rcl} P(X \le 2) & = & P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array} \right) (0.8)^{0} (0.2)^{4} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right) (0.8)^{1} (0.2)^{3} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} \\ & & \\ & = & 0.1808 \end{array}}

Ejemplo de probabilidad para al menos k-éxitos

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, al menos 2 hayan leído la novela.

1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2

{n = 4}
{k \ge 2}
{p = 0.8}
{q = 0.2}

2 La probabilidad de que al menos 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por {P(X \ge 2)=P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)}.

3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial

{\begin{array}{rcl} P(X \ge 2) & = & P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) (0.8)^{3} (0.2)^{1} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} \right) (0.8)^{4} (0.2)^{0} \\ & & \\ & = & 0.9728 \end{array}}

Media

En una distribución binomial, la media nos indica el valor medio de un fenómeno aleatorio. Se calcula con la siguiente fórmula:

\mu =n\cdot p

Donde:

n es el número de ensayos

p es la probabilidad de éxito

Varianza

Es una medida de dispersión que nos indica qué tan lejos se encuentran los cuadrados de la desviación de la media. Se calcula con la fórmula:

\sigma ^{2}=n\cdot p\cdot q

Donde:

n es el número de ensayos

p es la probabilidad de éxito

q es la probabilidad de fracaso

Desviación típica

Es la raíz cuadrada de la varianza:

\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}

Ejemplo

La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0,02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

\mu =10.000\cdot 0,02=200
\sigma ^{2}=10.000\cdot 0,02\cdot 0,98=196
\sigma =\sqrt{196}=14