APLICACIÓN DERIVADAS

Teoría de las aplicaciones físicas y geométricas de la derivada

La ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO

En una recta tangente a una curva en un punto, su pendiente es la derivada de la función en dicho punto y se expresa de la siguiente manera:

\displaystyle tg\beta =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{h}=f^{'}(a)

grafica tangente de recta a una curva en un punto

LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO

Así mismo, la recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f'(a) , una vez que se conoce la pendiente de la recta y los puntos por los que pasa, su ecuación es:

EJEMPLO

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola $\displaystyle y=x^{2}-5x+6$ , que es paralela a la recta $\displaystyle 3x+y-2=0$ .

Primero: De la ecuación de la recta despejamos $\displaystyle y$ de la siguiente manera:

Segundo: Con la información antes descrita, sabemos que la pendiente de la recta es la derivada de la función anterior, que corresponde al coeficiente de la misma:

Tercero: Con base en lo anterior, las dos rectas paralelas deberán tener la misma pendiente, por lo tanto si derivamos la ecuación de la parábola $\displaystyle y=x^{2}-5x+6$ tenemos que:

Siendo la misma pendiente para las dos rectas:

Cuarto: Una vez que se tiene el valor de la coordenada $\displaystyle x$ , este se sustituye en la ecuación de la parábola para hallar la segunda coordenada de la función:

Quinto: Finalmente, aplicamos la ecuación de la recta punto-pendiente: $y-2=-3(x-1)\hspace{1cm}{y=-3x+5}$

Note que, como la recta es paralela a la curva dada, tienen la misma pendiente.

Ecuación de la recta normal

PENDIENTE DE LA RECTA NORMAL

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Recordemos que la derivada en un punto nos da la pendiente de la recta tangente. Es decir,

Así que la opuesta de la inversa de la derivada de la función, nos da también la pendiente de la recta normal.

ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL

La recta normal a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

Por lo que la ecuación de la recta normal es

\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)

EJEMPLO DE EJERCICIO DE LA RECTA

1 Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x² + x + 1 que paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra también la ecuación de la recta normal en dicho punto.

Solución1Recta tangente

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.

Derivamos la función e igualamos a 1 para calcular el valor de x en el que ocurre esto

f'(x)=2x+1=1 \hspace{2cm} 2x=1-1=0 \hspace{2cm} x=0

Evaluamos x=0 en la función original

f(x)=x^2+x+1 \hspace{2cm} f(0)=0^2+0+1=1 \hspace{2cm} f(0)=1

Entonces

\text{Punto de tangencia} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} (0,1)

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=1

\text{Ecuacion de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-1=x \hspace{1cm} y=x+1

2Recta normal

\text{Punto } \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} (0,1)

\displaystyle \text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{1}=-1

Aplicaciones físicas de la derivada

VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido ${\Delta e}$ y el tiempo transcurrido ${\Delta t}$

{v_{m}(t)=\displaystyle\frac{\Delta e}{\Delta t}=\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando ${\Delta t}$ tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo

{v(t)=\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta e}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}=e'(t)}

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.

Ejemplo:

El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función ${e(t) = 3t^{2} - t +1}$ . El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

1 Hallar la ecuación de la velocidad.

2Hallar la velocidad en el instante {t = 0} .

3Hallar la ecuación de la aceleración.

Optimización de funciones

Pasos para la resolución de problemas

1 Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2 Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3 Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4 Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5 Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

1El área del triángulo isósceles es la función a maximizar

Ejercicio optimización de funciones representación gráfica de triangulo

2Planteamos la función que tenemos que maximizar

{S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2y \cdot \sqrt{x^2-y^2}}

3Dejamos una sola variable, para esto despejamos la ecuación del perímetro y la sustituimos en la del área

{2x+2y=12 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=6-y}

{S=y \sqrt{(6-y)^2-y^2}=y\sqrt{36-12y}=\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}

4Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

{S'=\displaystyle\frac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}}

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{36y-18y^{2}}{\sqrt{36y^{2}-12y^{3}}}&=&0 \\ && \\ 36y-18y^{2} & = & 0 \\ && \\ 18y(2-y) &=&0 \end{array}}

Los extremos locales son

5 Realizamos la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido. Sustituimos por 2, ya que la solución 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero