DERIVADAS

Tasa de variación media

Consideremos una función $\quad y = f(x) \quad$ y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas $\quad a \quad$ y $\quad a + h$ , siendo $\quad h \quad$ un número real que corresponde al incremento de $\quad x \quad$ ( $\quad \Delta x \quad$ ).

Se llama tasa de variación (TV) de la función en el intervalo $\quad [a, a + h]$ , que se representa por $\quad \Delta y \quad$ , a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de las abscisas $\quad a \quad$ y $\quad a + h \quad$ .

\displaystyle \Delta y = f(a + h) - f(a)

Gráfica sobre la tasa de variación en una función.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Se llama tasa de variación media (TVM) en intervalo $\quad [a, a + h]$ , representada por $\quad \frac{\Delta y}{h} \quad$ o $\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, $\quad h \quad$ o $\quad \Delta x$ , esto es:

\displaystyle \text{{\bf TVM}}[a, a + h] = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función $\quad f(x)$ , que pasa por los puntos de abscisas $\quad a \quad$ y $\quad a + h \quad$ .

\displaystyle m = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

ya que en el triángulo $\quad PQR$ , de la imagen anterior, resulta que:

\displaystyle \tan (\alpha) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

EJEMPLOS

1. Calcular la TVM de la función $\quad f(x) = x^2 - x \quad$ en el intervalo $\quad [1, 4]$ .

\begin{align*} \text{{\bf TVM}}[1, 4] &= \frac{f(4) - f(1)}{3}\\ &= \frac{12 - 0}{3}\\ &= 4 \end{align*}

2. El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de $\quad 1350 \quad$ a $\quad 1510$ . Hallar la tasa de variación media mensual.

\begin{align*} \text{{\bf TVM}} &= \frac{1510 - 1350 }{12}\\ &= \frac{160}{12}\\ &= 13.33 \end{align*}

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

EJEMPLOS

1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2.

2. Calcular la derivada de la función f(x) = x² + 4x − 5 en x = 1.

Interpretación geométrica de la derivada

Interpretacion geometrica de la derivada grafica y elementos

Cuando {h} tiende a , el punto {Q} tiende a confundirse con el {P} . Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función {f(x)} en {P} , y por tanto el ángulo ${\alpha}$ tiende a ser ${\beta}$ .

{tg\; \beta = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\Delta y}{h}=f'(a)}

Interpretacion geometrica de la derivada

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

Ejemplo:

Dada la parábola ${f(x)=x^{2}}$ , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

1 La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación {y=x}} , por tanto su pendiente es {m=1} .

2 Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

{f'(a) = 1} .

3 Calculamos la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto {x=a}

{f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h \to 0}(2a+h)=2a}

4 Igualamos ambas expresiones para la pendiente

5 Al resolver obtenemos la primera coordenada del punto

{2a = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{1}{2}}

6 La segunda coordenada del punto la obtenemos sustituyendo el valor de {a} en la función ${f(x)=x^{2}}$

{f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}=\displaystyle\frac{1}{4}}

Ejemplo interpretacion geometrica de la derivada

Interpretación física de la derivada

VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

EJEMPLO

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t². Calcular:

1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2. La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

DEFINICIÓN DE DERIVADA

Existen varias formas de definir la derivada, estás tienen que ver con geometría, física, economía, pero al final todas son la misma.

Desde el punto de vista geométrico, la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función. La derivada de una función {f(x)} viene dada por

{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

Se dice que la derivada de {f(x)} existe si el límite existe; en caso de que el límite no exista, se dice que la derivada no existe.

EJERCICIO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

1Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = 3x - 7}

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & 3(x + h) - 7 \\\\ & = & 3x + 3h -7 \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(3x + 3h -7) - (3x - 7)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3h}{h} \\\\ & = & 3 \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} 3 \\\\ & = & 3 \end{array}}

EJERCICIOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

2Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = x^2 - x + 1}$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^2 - (x + h) + 1 \\\\ & = & x^2 + 2xh + h^2 - x - h + 1 \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - x - h + 1) - (x^2 - x + 1)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2xh + h^2 - h}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(2x + h - 1)}{h} \\\\ & = & 2x + h - 1 \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h - 1) \\\\ & = & 2x - 1 \end{array}}

3Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = 3x^2 + 5x - 2}$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & 3(x + h)^2 + 5(x + h) - 2 \\\\ & = & 3(x^2 + 2xh + h^2) + 5(x + h) - 2 \\\\ & = & 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h - 2 \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(3x^2 + 6xh + 3h^2 + 5x + 5h - 2) - (3x^2 + 5x - 2)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{6xh + 3h^2 + 5h}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(6x + 3h + 5)}{h} \\\\ & = & 6x + 3h + 5 \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (6x + 3h + 5) \\\\ & = & 6x + 5 \end{array}}

EJERCICIOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES CÚBICAS

4Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = x^3 + 8}$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^3 + 8 \\\\ & = & x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8 \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8) - (x^3 + 8)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \\\\ & = & 3x^2 + 3xh + h^2 \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) \\\\ & = & 3x^2 \end{array}}

5Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = x^3 + 8x^2 - 1}$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & (x + h)^3 + 8(x + h)^2 - 1 \\\\ & = & x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8x^2 + 16xh + 8h^2 - 1 \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 8x^2 + 16xh + 8h^2 - 1) - (x^3 + 8x^2 - 1)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 16xh + 8h^2}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h)}{h} \\\\ & = & 3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 + 16x + 8h) \\\\ & = & 3x^2 + 16x \end{array}}

EJERCICIO DE DERIVADAS DE COCIENTES

6Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = \displaystyle \frac{3}{x - 1} }$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{3}{x + h - 1} \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x + h - 1} - \displaystyle \frac{3}{x - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(3x - 3) - (3x + 3h - 3)}{(x - 1)(x + h - 1)}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-3h}{(x - 1)(x + h - 1)}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-3}{(x - 1)(x + h - 1)} \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-3}{(x - 1)(x + h - 1)} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{3}{(x - 1)^2} \end{array}}

7Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = \displaystyle \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} }$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{(x + h)^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} \\\\ & = & \displaystyle \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y simplificamos

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1}{(x + h)^2 - 1} - \displaystyle \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(x^2 + 2xh + h^2 + 1)(x^2 - 1)-(x^2 + 1)(x^2 + 2xh + h^2 - 1)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-4xh - 2h^2}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-h(4x + 2h)}{h(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-(4x + 2h)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-(4x + 2h)}{(x^2 - 1)[(x + h)^2 - 1]} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{4x}{(x^2 - 1)^2} \end{array}}

EJERCICIOS DE DERIVADAS DE RAÍCES

8Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = \displaystyle \sqrt{3x - 1} }$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \sqrt{3(x + h) - 1} \\\\ & = & \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y racionalizamos para tratar con el denominador {h}

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} - \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} - \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{h} \cdot \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{(3x + 3h - 1) - (3x - 1)}{h\left( \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3h}{h\left( \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} + \displaystyle \sqrt{3x - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}} \end{array}}

9Encontrar la derivada mediante límites de ${f(x) = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x - 1}} }$

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3(x + h) - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x + 3h - 1}} \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada y racionalizamos para tratar con el denominador {h}

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x + 3h - 1}} - \displaystyle \frac{5}{\sqrt{3x - 1}}}{h} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(\sqrt{3x - 1} - \sqrt{3x + 3h - 1})}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(\sqrt{3x - 1} - \sqrt{3x + 3h - 1})}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})} \cdot \displaystyle \frac{\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1}}{\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5[(3x - 1) - (3x + 3h - 1)]}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})\left( \displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5(-3h)}{h(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})\left( \displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1} \right)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-15}{(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})(\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1})} \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior

{\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{-15}{(\sqrt{3x - 1})(\sqrt{3x + 3h - 1})(\displaystyle \sqrt{3x - 1} + \displaystyle \sqrt{3x + 3h - 1})} \\\\ & = & -\displaystyle \frac{15}{2\sqrt{(3x - 1)^3}} \end{array}}

EJERCICIO DONDE NO EXISTE LA DERIVADA

10Encontrar la derivada mediante límites de {f(x) = |3x|} en {x=0}

Solución

1Encontramos {f(x+h)}

{\begin{array}{rcl} f(x+h) & = & \displaystyle |3(x + h)| \\\\ & = & \displaystyle |3x + 3h| \end{array}}

2Calculamos el cociente de la definición de derivada

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} & = & \displaystyle \frac{|3x + 3h| - |3x|}{h} \end{array}}

3La derivada resulta de calcular el límite cuando {h} tiende a cero al cociente anterior en {x = 0}

{\begin{array}{rcl} f'(0) & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{|3(0) + 3h| - |3(0)|}{h} \\\\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|3h|}{h} \end{array}}

4La función valor absoluto se expresa de la forma

Así, los límites laterales para $\lim_{h \to 0} \frac{|3h|}{h}$ no son iguales

{\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{|3h|}{h} = 3, \ \ \ \ \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{|3h|}{h} = -3 }

y por tanto la derivada de {f(x)} en {x = 0} no existe

Derivadas laterales

DERIVADA POR LA IZQUIERDA

DERIVADA POR LA DERECHA

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.