MATRICES

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

\begin{bmatrix} 1& 2 &-1 &3 &-2 \\ 2& 1 &0 &1 &1 \\ 2& 4 &-2 &6 &-4 \\ 0& 0 &0 &0 &0 \\ 5& 4 &-1 &5 &0 \end{bmatrix}

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión m x n es una matriz que tiene filas y columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 ( filas y columnas), 3x2 (filas y columnas), 2x5 ( filas y columnas),…

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2,3,4 …

El conjunto de matrices de filas y columnas se denota por $A_{mxn}$ o $(a_{ij})$

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila y en la columna se denota por $a_{ij}$ .

Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión m x n., siendo m el numero de columnas y n el numero de filas.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

La matriz transpuesta cumple las siguientes propiedades:

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas,
siendo su dimensión n x n

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el
orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la
diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de
la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Es decir, las potencias de una matriz idempotente, siempre darán como resultado
la misma matriz

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

Definición del producto de un número real por una matriz

Dada una matriz $A=(a_{ij})$ y un número real $k\in \mathbb{R}$ , el producto de por es una matriz tal que:

Tienes la misma dimensión que A
Cada elemento está multiplicado por k.

Esto es,

Ejemplo de producto de un número real por una matriz

$2\cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 \\ 3 &0 &0 \\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 0 &2 \\ 6 &0 &0 \\ 10 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Propiedades del producto con matrices

1 Asociatividad

Sea $A\in M_{m\times n}$ una matriz de m por n entradas y $a,b\in \mathbb{R}$ números reales.

2 Distributividad respecto a la suma de matrices

Sean $A, B \in M_{m\times n}$ dos matrices de m por n entradas y $a\in \mathbb{R}$ un número real.

3 Distributividad respeto a la suma de escalares

Sea $A \in M_{m\times n}$ una matriz de m por n entradas y $a, b\in \mathbb{R}$ números reales.

4 Elemento neutro

Sea $A \in M_{m\times n}$ una matriz de m por n entradas.

Dos matrices y se dicen multiplicables si el número de columnas de coincide con el número de filas de .

A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}

El elemento $c_{ij}$ de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila de la matriz por cada elemento de la columna de la matriz y sumándolos.

Ejemplo

A\times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

=\begin{pmatrix} 2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \;\; & 2\cdot 0+0\cdot 2+1\cdot 1 \;\; & 2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0\\ 3\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 1 \;\; & 3\cdot 0+0\cdot 2+0\cdot 1 \;\; & 3\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 0\\ 5\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1 \;\; & 5\cdot 0+1\cdot 2+1\cdot 1 \;\; & 5\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0 \end{pmatrix}

=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 3\\ 7 & 3 & 6 \end{pmatrix}

Propiedades del producto de matrices

1 Asociativa:

2 Elemento neutro:

Donde es la matriz identidad del mismo orden que la matriz .

3 Distributiva del producto respecto de la suma:

4 No es Conmutativa:

Ejemplo de producto de matrices

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \epsilon \; M_{2\times 3}

B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \epsilon \; M_{3\times 2}

A\times B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 15 \end{pmatrix}

B\times A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4 & 2\\ 9 & 12 & 6\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Podemos ver que en este caso, $A\cdot B\neq B\cdot A$ , de hecho ni si quiera tienen la misma dimensión, pues $A\cdot B\; \epsilon \; M_{2\times 2}\;$ y $B\cdot A\; \epsilon \; M_{3\times 3}$ .

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

Propiedades de la matriz inversa

1 $(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$

2 $(A^{-1})^{-1}=A$

3 $(k\cdot A)^{-1}$

4 $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$

Cálculo por el método de Gauss

Sea una matriz cuadrada de orden . Para calcular la matriz inversa de , que denotaremos como $A^{-1}$ , seguiremos los siguientes pasos:

1 Construir una matriz del tipo M=(A/I) , es decir, está en la mitad izquierda de y la matriz identidad en la derecha.

Consideremos una matriz $3\times 3$ arbitraria:

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, , en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: $A^{-1}$ .

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

La matriz inversa es:

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

¿Qué es el rango de una matriz?

Hay varias definiciones equivalentes de lo que es el rango de una matriz. Al rango de una matriz $\; A_{m\times n} \;$ de dimensión $\; m \times n \;$ lo denotamos como $\;r(A)$ , $\;rang(A) \;$ o, en inglés, rank(A) .

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

Dimensión del espacio columna o espacio fila

Quizá lo más común en ingeniería es definir el rango como el número de filas (o columnas) linealmente independientes, esto debido a que es fácil obtener las filas linealmente independientes de una matriz utilizando el método de Gauss o el método de Gauss-Jordan.

Ejemplo:

Consideremos la matriz dada por

A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 4 & 0 & 10 & -2\\ -3 & -21 & -27 & -33\\ \end{pmatrix}

Notemos que la primer fila, $\; F_1$ , y la segunda, $\; F_2$ , son linealmente independientes, ya que

sin embargo, la primer fila y la tercer fila, $\; F_2$ , son linealmente independientes, esto ta que F_3 = -3F_1 . Por lo tanto, tenemos dos filas linealmenteindependiente de las tres que constituyen la matriz. Dicho lo anterior, el rango de $\; A \;$ es $\; rang(A) = 2$ .

Nota. Puedes visitar este artículo para aprender el método de Gauss.

Ejemplo:

Ahora aplicaremos el método de Gauss para obtener el rango de la matriz del ejemplo anterior.

Aplicando el método de Gauss tenemos que

$\begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 0 & -28 & -26 & -46\\ -3 & -21 & -27 & -33\\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 0 & -28 & -26 & -46\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$

Al finalizar nuestro proceso tenemos que nuestra matriz resultante es

\begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 0 & -28 & -26 & -46\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}

Como terminamos con dos filas no nulas, tenemos que el rango es $\; rang(A) = 2$ .

Rango por determinantes

Podemos definir el rango de una matriz como el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula de nuestra matriz . Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes, sin embargo, no es un método muy recomendable dado que puede llegar a ser demasiado tardado y, dependiendo la dimensión de la matriz, incluso complicado el cálculo de algunos determinantes.

Nota. Puedes visitar este artículo para aprender el método por determinantes.

Ejemplo:

Consideremos la siguiente matriz

B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 5 & 1\\ -1 & 1 & 0 & -7\\ 3 & -2 & 1 & 17\\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}

Procedamos con los pasos:

1 Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras, C_3 = C_1 + C_2

{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 5 & 1\\ -1 & 1 & 0 & -7\\ 3 & -2 & 1 & 17\\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & 1 & -7\\ 3 & -2 & 17\\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix} }

2 Comprobamos si tiene rango mayor o igual que uno, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. Notemos que, al ser la matriz no nula, tenemos que

$\displaystyle \left| 2\right| = 2 \neq 0$ .

Por lo tanto su rango es igual o mayor que uno.

3 Tendrá rango mayor o igual que dos si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. Notemos que

{ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 }

4 Tendrá rango mayor o igual que tres si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo. En este caso, calculando los determinantes de todas las submatrices de dimensión 3, tenemos que

{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & 1 & -7 \end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 3 & -2 & 17 \end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0. }

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos, tienen rango menor que tres, por tanto $\; rang(B) = 2$ .

Dimensión del espacio imagen

Esta definición de rango de una matriz es un poco más matemática y complicada de comprender, sin embargo, no está mal tenerla como dato. Aquí necesitamos tener noción del concepto de aplicaciones lineales. Esto ya que, por teoría de álgebra lineal, dada una matriz $A_{m \times n}$ , existe una única aplicación lineal asociada,

$\displaystyle f: F^n \to F^m$ ,

definida como

$\displaystyle f(x) = Ax$ ,

entonces, el rango de $\; A \;$ es la dimensión de la imagen de $\; f\;$
(como espacio vectorial).

No es necesario dominar esta definición ya que solo suele utilizarse en matemáticas puras o física, sin embargo, podemos tenerla como dato general.

Determinantes de orden uno, dos, y tres

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁

Ejemplo

|5| = 5

Determinante de orden dos

= a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Ejemplo

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3×3 arbitraria A = (a_ij). El determinante de A se define como sigue:

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃a ₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ −

− a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a₃₃− a₁₁ a₂₃ a_32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Regla de Sarrus

Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento a_ij al valor del determinante de orden n − 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Adjunto

Se llama adjunto del elemento a_ij a su menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i + j es par.

El signo es − si i + j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes:

Ejemplo

= 3(8+5) − 2(0−10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Observemos que este método es especialmente útil si lo usamos apoyandonos en una fila (o columna) que tenga uno o más ceros, siendo más sencillo cuantos más ceros tenga.

En nuestro ejemplo, facilitaría los cálculos hallar el determinante apoyándonos en la primera columna:

Determinante de orden uno

Ejemplo:

Determinante de orden dos

{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| =a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}}

Ejemplo:

{\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right| =2\cdot 2-(-1)\cdot 3=7}

Determinante de orden tres

Se aplica la regla de Sarrus:

{\begin{array}{rcl}\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right| & = & a_{11}\cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{21}\cdot a_{32} \cdot a_{13}+a_{31}\cdot a_{12} \cdot a_{23} \\ && -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{12}\cdot a_{21}\end{array}}

Ejemplo:

{\begin{array}{rcl}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 5\end{array} \right| & = & 1\cdot 1\cdot 5+2\cdot (-1) \cdot 2+3\cdot 1 \cdot 0 \\ && -3\cdot 1\cdot 2-2\cdot 1\cdot 5-1\cdot 0\cdot (-1) \\ && \\ & = & -15\end{array}}

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá {1} ó {-1} .

Seguiremos los siguientes pasos:

1 Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2 En caso negativo seguiremos alguno de los siguientes pasos:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó un −1 (operando con alguna línea paralela).

2. Dividiendo la línea fila (o la columna) por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe. Es decir, sacamos factor común en una fila (o una columna) de uno de sus elementos.

3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

{2\left|\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 1 \\ -2 & -6 & -9\\ 2 &-1 & -3 \end{array}\right|=2(-58)=-116}

Las propiedades de los determinantes

1 El determinante de una matriz y el de su traspuesta $A^{t}$ son iguales.

\left | A^{t} \right |=\left | A \right |

A=\begin{vmatrix} 2 &3 &0 \\ 3& 2 & 7\\ 2 &1 & 6 \end{vmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^{t}=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 3 & 2 &1 \\ 0&7 &6 \end{vmatrix}

\left | A \right |=\left | A^{t} \right |=-2

2 $\left | A \right \left | =0$ Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 3& 2 & 3\\ 2 &3 & 2 \end{vmatrix}=0

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 3& 2 & 3\\ 0 &0 & 0 \end{vmatrix}=0

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 1& 2 & 4\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}=0

3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

A =\begin{vmatrix} 2 &0 &0 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= 2 \cdot 2 \cdot 6= 24

4 Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

\begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= - \begin{vmatrix} 1 &2 &0 \\ 2& 1 & 2\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F_1\leftrightarrow F_2

5 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

\begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= 16 \ \ \ \ \ C_3=2C_1+C_2+C_3 \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} 2 &1 &7 \\ 1& 2 & 4\\ 3 &5 & 17 \end{vmatrix} =16

6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

2 \cdot \begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ 1& 2 & 0\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 \cdot 2 &1 &2 \\ 1 \cdot 2 & 2 & 0\\ 3 \cdot 2 &5 & 6 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 4 &1 &2 \\ 2 & 2 & 0\\ 6 &5 & 6 \end{vmatrix}

7 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

\begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ a+b& a+c & a+d\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ a & a & a\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 &1 &2 \\ b & c & d\\ 3 &5 & 6 \end{vmatrix}

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Calcular la inversa de una matriz

Definición de la matriz inversa

El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A= I$

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

Propiedades de la matriz inversa

1 $(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$

2 $(A^{-1})^{-1}=A$

3 $(k\cdot A)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$

4 $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$

Cálculo por determinantes

El cálculo de una matriz inversa por determinantes se basa en el siguiente resultado $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t$ donde

\begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

Para entender el procedimiento, comenzaremos con un ejemplo:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1 Calculamos el determinante de la matriz.

En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

|A|=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=3

2 Hallamos la matriz adjunta

Es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

A^{*}=\begin{pmatrix} \ \ \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} & \ \ \begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 1& 1 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 5 &1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 &0 \\ 5 &1 \end{vmatrix}\\ \ \ \begin{vmatrix} 0&1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2&1 \\ 3&0 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2& 0\\ 3 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-3 &3 \\ 1 &-3 &-2 \\ 0& 3& 0 \end{pmatrix}

3 Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

(A^*)^t=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}

4 La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

En general, como el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, los pasos a seguir para el cálculo del rango por determinantes son:

1 Descartamos las filas (o columnas) que cumplan con alguna de las condiciones:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos filas (o columnas) iguales.

Una fila (o columna) es proporcional a otra.

Una fila (o columna) es combinación lineal de otras.

2 Si al menos un elemento de la matriz no es cero su determinante no será nulo y, por tanto, el rango será mayor o igual a .

3 El rango será mayor o igual a si existe alguna submatriz cuadrada de orden , tal que su determinante no sea nulo.

4 El rango será mayor o igual a si existe alguna submatriz cuadrada de orden , tal que su determinante no sea nulo.

5 El rango será mayor o igual a si existe alguna submatriz cuadrada de orden , tal que su determinante no sea nulo.

De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a , hasta que la submatriz (o las submatrices) del mayor orden posible tenga (o tengan) determinante nulo.

Ejemplo del cálculo del rango de una matriz por determinantes

1 Dada la matriz, calcular su rango, rang (B) .

Solución:

De acuerdo a los pasos anteriores podemos realizar lo siguiente.

1 Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras:
c_3= c_1 + c_2 .

2 Comprobamos si tiene rango mayor o igual que , para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

3 Tendrá rango mayor o igual que si existe alguna submatriz cuadrada de orden , tal que su determinante no sea nulo.

4 Tendrá rango mayor o igual que si existe alguna submatriz cuadrada de orden , tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos, tienen rango menor que , por tanto rang.

Regla de Cramer

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, … , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

…

Ejemplos

Como el sistema no es un sistema de Cramer, debemos transformarlo.

Como , podemos limitarnos a estudiar el sistema:

Estamos ante un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante de la matriz de coeficientes distinto de cero. Es decir, estamos ante un sistema de Cramer.

Las soluciones de este sistema de Cramer, que vendrán dadas en función de λ serán las mismas que las del sistema original.

Teorema de Rouché

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

r = r’ Sistema compatible.

r = r’ = n Sistema compatible determinado.

r = r’ ≠ n Sistema compatible indeterminado.

r ≠ r’ Sistema incompatible.

Ejemplo

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

1 Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.

r(A) = 3

2 Hallamos el rango de la matriz ampliada

r(A’) = 3

3 Aplicamos el teorema de Rouché.

4 Como el sistema es compatible podemos resolverlo, bien por la regla de Cramer o por el método de Gauss.

Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3 que tiene rango 3, y lo resolvemos.En este caso lo haremos por la regla de Cramer.

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x₁ = x₂=… = x_n= 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A’) y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.

Ejemplos

r = 3 n = 3

Discusión de sistemas

1. Hallamos el rango de la matriz de los coefecientes.

2. Calculamos el rango de la matriz ampliada.

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

r = r’ Sistema Compatible.
- r = r’= n Sistema Compatible Determinado.
- r = r’≠ n Sistema Compatible Indeterminado.
r ≠ r’ Sistema Incompatible.

4. Si el sistema es compatible determinado se resuelve por la regla de Cramer(tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

5. Si el sistema es compatible indeterminado se resuelve teniendo en cuenta que:

El número de ecuaciones = rango

El número de parámetros = nº de incógitas menos el rango

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo .

Admiten la solución trivial: x₁ = x₂=… = x_n= 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n