Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:
1 En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso (el cual llamamos éxito) y su contrario
(el cual llamamos fracaso).
2 La probabilidad de que ocurra el suceso es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra; esta probabilidad se representa por
.
3 El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
La distribución binomial se suele representar por , donde
es el número de pruebas de que consta el experimento,
es la probabilidad de éxito,
La probabilidad de fracaso es y la representamos por
.
VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
La variable aleatoria binomial , expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores suponiendo que se han realizado
pruebas.
Ejemplo:
Se lanza 10 veces una moneda honrada al aire y se desea obtener 6 caras.
En este caso tenemos que:
![Rendered by QuickLaTeX.com {A=\mbox{obtener cara al lanzar una moneda al aire}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2d047aacc1eea5e7937952e4de395f9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\overline{A}=\mbox{obtener sello al lanzar una moneda al aire}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bffc0eb8201c59bbde1183b6713f33c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {p=P(A)=\displaystyle\frac{1}{2}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7fcb1aab3fcb1ccc1acb454a7d27727_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {q=P(\overline{A})=1-p=\displaystyle\frac{1}{2}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4860df5bdcdee5664b0e7349889b272a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {n=10}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30eadc61d58c5f9ece1a27fd241d8125_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {k=6}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0c16fd7c3cff3aeb04c32edc89741f6_l3.png)
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:
![Rendered by QuickLaTeX.com {P(X=k)=\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^{k} q^{n-k} }](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95d9088fd194ebf7b25a11dc6ddc9306_l3.png)
donde
es el número de pruebas.
es el número de éxitos.
es la probabilidad de éxito.
es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio viene dado por
![Rendered by QuickLaTeX.com { \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \displaystyle\frac{n!}{k! (n-k)!} }](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d50235367d145dce28e1627a75a18a60_l3.png)
EJEMPLO DE PROBABILIDAD PARA EXACTAMENTE K-ÉXITOS
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, 2 hayan leído la novela.
1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2
![Rendered by QuickLaTeX.com {n = 4}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d89b2f04b463999ce30b1f1e7ed3750_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {k = 2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a009ce6abb9e5eb2410e36a13867c87f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {p = 0.8}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-807018763c04d48583ac6053c218f10e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {q = 0.2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0567ae5af4c2f02eb88ab4f6be530d8d_l3.png)
2 La probabilidad de que exactamente 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por .
3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} P(X=2) & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{4!}{(2!)(2!)}(0.64)(0.04) \\ && \\ & = & 0.1536 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0064c98007585d0ee0c3a9cf3c484c8_l3.png)
EJEMPLO DE PROBABILIDAD PARA A LO MÁS K-ÉXITOS
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, a lo más 2 hayan leído la novela.
1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2
![Rendered by QuickLaTeX.com {n = 4}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d89b2f04b463999ce30b1f1e7ed3750_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {k \le 2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c83d444f96dec53cff20878e06742c98_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {p = 0.8}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-807018763c04d48583ac6053c218f10e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {q = 0.2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0567ae5af4c2f02eb88ab4f6be530d8d_l3.png)
2 La probabilidad de que a lo más 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por .
3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} P(X \le 2) & = & P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array} \right) (0.8)^{0} (0.2)^{4} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right) (0.8)^{1} (0.2)^{3} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} \\ & & \\ & = & 0.1808 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-285ed1225044c98662ef9e9ec8cd7b9b_l3.png)
EJEMPLO DE PROBABILIDAD PARA AL MENOS K-ÉXITOS
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 4 amigos que son aficionados a la lectura, al menos 2 hayan leído la novela.
1 La probabilidad de que una persona haya leído el libro es de 0.8, por lo que la probabilidad de que no lo haya leído es de 0.2
![Rendered by QuickLaTeX.com {n = 4}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d89b2f04b463999ce30b1f1e7ed3750_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {k \ge 2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd7595a65c7627b20ce378aad16df687_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {p = 0.8}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-807018763c04d48583ac6053c218f10e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {q = 0.2}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0567ae5af4c2f02eb88ab4f6be530d8d_l3.png)
2 La probabilidad de que al menos 2 personas del grupo de 4 amigos hayan leído la novela se representa por .
3 Sustituimos los datos en la función de probabilidad de la distribución binomial
![Rendered by QuickLaTeX.com {\begin{array}{rcl} P(X \ge 2) & = & P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right) (0.8)^{2} (0.2)^{2} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) (0.8)^{3} (0.2)^{1} + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array} \right) (0.8)^{4} (0.2)^{0} \\ & & \\ & = & 0.9728 \end{array}}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10bd3ef8a8d9d6c1c952c201a6ffb60d_l3.png)
MEDIA
En una distribución binomial, la media nos indica el valor medio de un fenómeno aleatorio. Se calcula con la siguiente fórmula:
![Rendered by QuickLaTeX.com \mu =n\cdot p](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57be8005009cccccaad6e428ab7d0d3d_l3.png)
Donde:
n es el número de ensayos
p es la probabilidad de éxito
VARIANZA
Es una medida de dispersión que nos indica qué tan lejos se encuentran los cuadrados de la desviación de la media. Se calcula con la fórmula:
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma ^{2}=n\cdot p\cdot q](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d89d5f5a1b5db2944d50cc5f0cac2a6_l3.png)
Donde:
n es el número de ensayos
p es la probabilidad de éxito
q es la probabilidad de fracaso
DESVIACIÓN TÍPICA
Es la raíz cuadrada de la varianza:
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2d228316c4cc05808d0b2690cdcec33_l3.png)
EJEMPLO
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es . Se envió un cargamento de
artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
![Rendered by QuickLaTeX.com \mu =10.000\cdot 0,02=200](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ebf08ee4a02bc3060c19756aeb7b9ab_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma ^{2}=10.000\cdot 0,02\cdot 0,98=196](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-436a1d2e35ab9811bcf4e37c8a0cd0bb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma =\sqrt{196}=14](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4dfcad3650d38d5fea5c201db72156ae_l3.png)