FUNCIONES

Gráficas y funciones

Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas.
El punto, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas .
El eje horizontal se llama eje o eje de abscisas.
La coordenada es positiva a la derecha del origen.
La coordenada es negativa a la izquierda del origen.
El eje vertical se llama eje o eje de ordenadas.
La coordenada es positiva por encima del origen.
La coordenada es negativa por debajo del origen.
Las coordenadas de un punto cualquiera se representan por .
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada del punto u ordenada del punto.

representación gráfica del eje del plano, origen, ejes, y un punto

Representación de puntos

Vamos a representar en unos ejes de coordenadas el punto P(2, 4):

1Marcamos la primera coordenada (la absisa) en el eje OX y la segunda coordenada (la ordenada) en el eje OY

2Desde cada punto trazamos una recta discontinua paralela al otro punto y el punto de corte entre las dos rectas es el punto buscado.

Signos de cada cuadrante

	Abscisa	Ordenada
1^ercuadrante	+	+
2º cuadrante	−	+
3^ercuadrante	−	−
4º cuadrante	+	−

El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.

Ejemplos

Representa en los ejes de coordenadas los puntos:

A(1, 4), B(–3, 2), C(0, 5), D(–4, –4), E(–5, 0), F(4, –3), G(0, –2), I(3, 0),

Una tabla de valores es una representación de datos, mediante pares ordenados, que expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones.

La siguiente tabla nos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramos que compremos.

Kg de patatas	Precio en €
1	2
2	4
3	6
4	8
5	10

La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en un examen.

Nota	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nº de alumnos	1	1	2	3	6	11	12	7	4	2	1

Las tablas de valores se utilizan para representar estos valores en unos ejes de coordenada teniendo en cuenta que la primera columna o fila (dependiendo de la orientación que le demos) es la de la coordenada x y la segunda de la coordena y.

Representamos los valores de la primera tabla en unos ejes de coordenadas:

Si unimos estos puntos obtenemos una gráfica

A medida que compramos más patatas el precio de esta va aumentando proporcionalmente

Ejemplos de representaciones gráficas

1 La siguiente tabla dos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramos que compremos.

Kg de patatas	1	2	3	4	5
Precio en €	2	4	6	8	10

En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.

2 La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en un examen.

Nota	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nº de alumnos	1	1	2	3	6	11	12	7	4	2	1

En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.

Gráfica creciente

Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la variable dependiente.

Gráfica decreciente

Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la variable dependiente.

Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.

Gráfica constante

Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la variable dependiente permanece invariable.

Funciones

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

Ejemplo:

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 0.5x + 3

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

Como podemos observar, la función relaciona dos variables. x e y.

x es la variable independiente.

y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.

x	0	10	20	30
y = 0.5x + 3	3	8	13	18

Hemos hallado la variable dependiente (y), sustituyendo los valores de la variable independiente (x) en la función.

y = 0.5 · 0 + 3 = 3

y = 0.5 ·10 + 3 = 8

y = 0.5 · 20 + 3 = 13

y = 0.5 · 30 + 3 = 18

Función lineal y función identidad

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Para su representación son necesarios al menos dos puntos.

Ejemplo:

y = 2x

Le damos valores a la función

y = 2 · 0 = 0

y = 2 · 1 = 2

y = 2 · 2 = 4

y = 2 · 3 = 6

y = 2 · 4 = 8

x	0	1	2	3	4
y = 2x	0	2	4	6	8

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Función identidad

La función identidad es del tipo:

y = x

Su gráfica es una recta que:

Pasa por el origen de coordenadas

Tiene de pendiente: m = 1

Forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º

La función constante es del tipo:

y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.