NUMEROS ENTEROS

Multiplicación y División de números enteros

Ley de los signos

+ · + = +

− · − = +

+ · − = −

− · + = −

Potencias de números enteros

Definición de potencia con exponente entero positivo o número natural

La potencia de exponente natural de un número entero positivo, es igual a multiplicar dicho número por sí mismo tantas veces como indique el exponente, y su signo depende del signo de la base.

1 Las potencias de exponente par son siempre positivas.

+ par = +

- par = +

2 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

+ impar = +

- impar = -

Propiedades de las potencias.

propiedades de las potencias ejercicios resueltos Trucos

La potencia de exponente negativo es la inversa de la potencia con el mismo exponente, pero positivo: 

a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}

 

Operaciones combinadas con números naturales

Para realizar las operaciones combinadas, debemos seguir el siguiente orden:

1 Realizamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2 Calculamos las potencias y raíces.

3 Efectuamos los productos y cocientes.

4 Realizamos las sumas y restas.

 

Fracciones

Tipos de fracciones

Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor está comprendido entre cero y uno.

Ejemplo:

{\displaystyle\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{7}{10}}

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.

Ejemplo:

{\displaystyle\frac{5}{3}, \frac{7}{5}, \frac{13}{10}}

Número mixto

El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria.

Para pasar de número mixto a fracción impropia:

1 Se deja el mismo denominador

2 El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.

Ejemplo:

{3\displaystyle\frac{2}{5}=\frac{3(5)+2}{5}=\frac{17}{5}}

Para pasar una fracción impropia a número mixto:

1 Se divide el numerador por el denominador.

2 El cociente es el entero del número mixto.

3 El resto es el numerador de la fracción.

4 El denominador es el mismo que el de la fracción impropia.

Ejemplo:

{\displaystyle\frac{13}{5}=2\frac{3}{5}}

Fracciones decimales

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

Ejemplo:

{\displaystyle\frac{23}{100}, \frac{12}{1000},\frac{3}{10}}

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios

{\displaystyle\frac{a}{b}= \frac{c}{d} \ \ \ si \ \ \ ad=bc}

Simplificar fracciones

Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.

1 Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.

2 Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, … Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.

3 Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

4 Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador, lo cual es equivalente a dividir numerador y denominador por la misma potencia de 10.

5 Si el número por el que dividimos es el máximo común divisor del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible que es equivalente a la inicial.

Fracciones irreducibles

Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, o lo que es lo mismo, cuando el mcd de ambos números es 1.

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}
\displaystyle \frac{5}{7}+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}
\displaystyle \frac{5}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{12}=\frac{15 + 2}{12}=\frac{17}{12}

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}
\displaystyle \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{24}

Cociente de fracciones

La división de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los extremos y por denominador el producto de los medios.

\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}= \frac{a \cdot d}{b \cdot c}
\displaystyle \frac{5}{7} \div \frac{1}{6}= \frac{5}{7} \cdot \frac{6}{1}= \frac{30}{7}

Operaciones combinadas y prioridades

1 Pasar a fracción los números mixtos y decimales.

2 Calcular las potencias y raíces.

3 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

4 Efectuar los productos y cocientes.

5 Realizar las sumas y restas.