POLINOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural

{2x^{2}y^{3}z}

Partes de un monomio

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

partes del monomio para matematicad - Brainly.lat

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplos:

1{2x^{2}y^{3}z} es semejante a {5x^{2}y^{3}z}

Operaciones con monomios

Suma de monomios

Para poder sumar dos o más monomios estos han de ser monomios semejantes, es decir, monomios que tienen la misma parte literal.

La suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

{ax^{n}+bx^{n}=(a+b)x^{n}}

{2x^{2}y^{3}z+3x^{2}y^{3}z=(2+3)x^{2}y^{3}z=5x^{2}y^{3}z}

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

{5\cdot (2x^{2}y^{3}z)=10x^{2}y^{3}z}

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

{\left(ax^{n}\right)\left(bx^{m}\right)=(ab)x^{n+m}}

Ejemplos:

{\left(5x^{2}y^{3}z\right)\left(2y^{2}z^{2}\right)=(2\cdot 5)x^{2}y^{3+2}z^{1+2}=10x^{2}y^{5}z^{3}}
{\left(4x\right)\left(3x^{2}y\right)=(4\cdot 3)x^{1+2}y^{1}=12x^{3}y}

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando el grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes

{\left(ax^{n}\right)\left(bx^{m}\right)=(a:b)x^{n-m}}

Ejemplo:

{\left(6x^{3}y^{4}z^{2}\right) : \left(3x^{2}y^{2}z^{2}\right)=(6: 3)x^{3-2}y^{4-2}z^{2-2}=2x^{1}y^{2}z^{0}=2xy^{2}}

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica

Ejemplo:

{\left(6x^{3}y^{4}z^{2}\right) : \left(3x^{5}y^{2}z^{4}\right)=(6: 3)x^{3-5}y^{4-2}z^{2-4}=2x^{-2}y^{2}z^{-2}=\displaystyle\frac{2y^{2}}{x^{2}z^{2}}}

Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia

{\left( ax^{n} \right)^{m}=a^{m}\left(x^{n}\right)^{m}=a^{m}x^{(n\cdot m)}}

Ejemplos:

{\left( 2x^{3} \right)^{3}=2^{3}\left(x^{3}\right)^{3}=2^{3}x^{(3\cdot 3)}=8x^{9}}
{\left( -3x^{2} \right)^{3}=(-3)^{3}\left(x^{2}\right)^{3}=(-3)^{3}x^{(2\cdot 3)}=-27x^{6}}

Operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división

Suma de polinomios

Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.

Método 1 para sumar polinomios

Pasos:

1 Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.

2 Agrupar los monomios del mismo grado.

3 Sumar los monomios semejantes.

Ejemplo del primer método para sumar polinomios

Sumar los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3,      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

Método 2 para sumar polinomios

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

Ejemplo del segundo método para sumar polinomios

Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.

1Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.

Ejemplo suma de polinomios

Así,

2P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.Ejemplo de resta de polinomios1Restar los polinomios P(x) = 2x3 + 5x – 3, Q(x) = 2x³ – 3x² + 4x.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

2Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

3Agrupamos.

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

4Resultado de la resta.

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio

La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.Ejemplos:

3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

2(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.

Ejemplo: 

3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) – (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) – (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.

Método 1 para multiplicar polinomios

Pasos:

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x

2Se suman los monomios del mismo grado.

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

y

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

Método 2 para multiplicar polinomios

También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.

En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.

Ejemplo de multiplicación de polinomios en forma de tabla

División de polinomios

Abordaremos la explicación con un ejemplo.

Ejemplo:

Resolver la división de los polinomios P(x) = x5 + 2x3 − x − 8,        Q(x) = x2 − 2x + 1.

P(x) :  Q(x)

1-A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.Ejemplo división de polinomios

2-A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

3-Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

4-Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:Ejemplo división paso 3

5-Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2Ejemplo división paso 4

6-Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 xEjemplo división repetición de paso anterior

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Igualdades notables

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Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más o menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

Ejemplos

1. (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x ² + 6 x + 9

2. (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9

3. (−2x² + 3)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · 3 + 3² = 4x4 − 12x² + 9

4. (−2x² − 3y)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · (−3y) + (−3y)² = 4x4 + 12x²y + 9y²

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Ejemplos

1. (2x + 5) · (2x – 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

2. (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)² − (y³)² = 4x4 − y6

Binomio al cubo

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

Esta fórmula es necesaria saberla, las que damos en los ejemplos son opcionales.Ejemplos

1. (x + 3)³ =

= x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

2. (2x − 3)³ =

= (2x)³ + 3 · (2x)² · (−3) + 3 · 2x · (−3)² + (−3)³ =

= 8x³ − 36x² + 54x − 27

Si nos fijamos en los signos obtenidos: +, −, +, −. Podemos dar una variante a la fórmula anterior:

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

3. (−3x² + 2x)³ =

= (−3x²)³ + 3 · (−3x²)² · (2x) + 3 · (−3x²) · (2x)² + (2x)³=

= −27x6 + 3 · 9x4 · 2x − 3 · 3x² · 4x² + 8x³ =

= −27x6 + 54x5 − 36x4 + 8x³

Los signos obtenidos son: −, +, −, +. Podemos dar otra variante:

(−a + b)³ = −a³ + 3 · a² · b − 3 · a · b² + b³

4. (−3xy² − 2xy)³ =

= (−3xy²)³ + 3 · (−3xy²)² · (−2xy) + 3 · (−3xy²) · (−2xy)² + (−2xy)³ =

= −27x³y6 − 3 · 9x²y4 · 2xy − 3 · 3xy² · 4x²y² − 8x³y³ =

= −27x³y6 − 54x³y5 − 36x³y4− 8x³y³

Los signos obtenidos son: −, −, −, −. Podemos dar otra variante:

(−a − b)³ = −a³ − 3 · a² · b − 3 · a · b² − b³

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Ejemplos

1. (x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² + 2 · x² · (−x) + 2 · x² · 1 + 2 · (−x) · 1=

= x4 + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x=

= x4 − 2x³ + 3x² − 2x + 1

2. (2x² − x − 3)² =

= (2x²)² + (−x)² + (−3)² + 2 · (2x²) · (−x) + 2 · (2x²) · (−3) + 2 · (−x) · (−3) =

= 4x4 + x² + 9 − 4x³ − 12x² + 6x =

= 4x4 − 4x³ − 11x² + 6x + 9

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

Ejemplo

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

Ejemplo

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

Ejemplo

(x + 2) (x + 3)=

= x² + (2 + 3) · x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6