PROPORCIONALIDAD

Proporcionalidad

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Así, dadas dos razones 

tendríamos una proporción si:

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{3}{12}

Cuarto proporcional

Un cuarto proporcional es cualquier de los términos de una proporción. Para calcularlo tenemos que considerar dos casos:

  • Si este se encuentra en numerador de la razón,

\displaystyle \frac{x}{b} = \frac{c}{d}.

Entonces, se calcula como

\displaystyle x = \frac{b \cdot c}{d}.

  • Si este se encuentra en denominador de la razón, \displaystyle \frac{a}{x} = \frac{c}{d}. Entonces, se calcula como \displaystyle x = \frac{a \cdot d}{c}.

Notemos que simplemente es despejar el cuarto proporcional.

Medio proporcional

Una proporción es continua si sus medios son iguales,

\displaystyle \frac{a}{x} = \frac{x}{d}.

En este caso, al cuarto proporcional correspondiente a los medios se conoce como medio proporcional. Además, podemos calcularlo como

\displaystyle x = \sqrt{a \cdot d}.

Tercero proporcional

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Para calcular los terceros proporcionales debemos considerar dos casos:

  • Si este se encuentra en numerador de la razón,

\displaystyle \frac{x}{b} = \frac{b}{d}.

Entonces, se calcula como

\displaystyle x = \frac{b^2}{d}.

Si este se encuentra en denominador de la razón,

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{b}{x}.

Entonces, se calcula como

\displaystyle x = \frac{b^2}{a}.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

  • A más cantidad de la primera magnitud, corresponde más cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
  • A menos cantidad en la primera magnitud, corresponde menos cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.

Regla de tres simple y directa

La regla de tres simple y directa consiste en una relación de cantidades con proporcionalidad directa, que se da cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, se debe calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

{ \begin{cases} A_1 & \to B\\ A_2 & \to x \end{cases} }
\displaystyle\frac{A_1}{A_2} = \frac{B}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{A_2 \cdot B}{A_1}

Porcentajes

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es \quad 100

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple e inversa consiste en una relación de cantidades con proporcionalidad inversa, que se da cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, se debe calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

{ \begin{cases} A_1 & \to B\\ A_2 & \to x \end{cases} }
\displaystyle \frac{A_2}{A_1} = \frac{B}{x} \quad \text{o} \quad \frac{A_1}{\frac{1}{c}} = \frac{A_2}{\frac{1}{x}} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{A_1 \cdot B}{A_2}

Proporcionalidad compuesta

La proporcionalidad compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes. Entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa e inversa, por lo que podemos diferenciar tres casos: proporcionalidad compuesta directa, proporcionalidad compuesta inversa, proporcionalidad compuesta directa-inversa.

Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta. Podemos visitar este artículo para ver a detalle estos casos junto con varios ejemplos.