Teoría ecuaciones

Igualdad

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual

Una igualdad puede ser cierta o falsa.

Ejemplo:

Verifica si es cierta la igualdad {2x+2=2(x+1)}

1Quitamos paréntesis en el lado derecho de la igualdad

Restamos {2x} en ambos lados de la igualdad

Obtenemos

Como la igualdad es válida, tenemos que la igualdad es cierta.

Ejemplo:

Verifica si es cierta la igualdad {2x+1=2(x+1)}

1Quitamos paréntesis en el lado derecho de la igualdad

Restamos {2x} en ambos lados de la igualdad

Obtenemos

Como no es válida la igualdad, tenemos que la igualdad es falsa.

Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables.

Ejemplo:

{2x+2=2(x+1)} es una identidad

1Quitamos paréntesis en el lado derecho de la igualdad

Restamos {2x} en ambos lados de la igualdad

Obtenemos

Como la igualdad es válida para cualquier valor de {x} , entonces se trata de una identidad.

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las variables.

Ejemplo:

{x+1=2} es una ecuación

1Restamos 1 en ambos lados de la igualdad

2Obtenemos

1Así, la igualdad solamente se cumple para {x=1}

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado

Ecuación de primer grado

Ecuación de segundo grado

Ecuación de tercer grado

Ecuación de cuarto grado

Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuaciones polinómicas son de la forma $\displaystyle P(x)=0$ , donde $\displaystyle P(x)$ es un polinomio.

Por ejemplo:

$\displaystyle 7x^2-2x+8=0$

$\displaystyle x^3+2=0$

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman al polinomio.

Por ejemplo:

$\displaystyle grado(7x^2-2x+8)=2$

$\displaystyle grado(x^3+2)=3$

$\displaystyle grado(5)=0$

$\displaystyle grado(x)=1$

Tipos de ecuaciones polinómicas:

1 Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo $\displaystyle ax+b=0$ con $\displaystyle a \neq 0$ , o cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

$\displaystyle (x+1)^2=x^2-2$

$\displaystyle x^2+2x+1=x^2-2$

$\displaystyle 2x+1=-2$

$\displaystyle 2x+3=0$

2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ , con $\displaystyle a \neq 0$ . Si en dado caso $\displaystyle b=0$ ó $\displaystyle c=0$ , se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas.

$\displaystyle ax^2=0$

$\displaystyle ax^2+c=0$

$\displaystyle ax^2+bx=0$

3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo $\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0$ , con $\displaystyle a \neq 0$ .

4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo $\displaystyle ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ , con $\displaystyle a \neq 0$ .

5 Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar $\displaystyle ax^4+bx^2+c=0$ , con $\displaystyle a \neq 0$ .

6 Ecuaciones de grado $\displaystyle n$

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma: $\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_2x^2+a_1x+a_0=0$

Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas racionales son de la forma

donde $\displaystyle P(x)$ y $\displaystyle Q(x)$ son polinomios.

Por ejemplo:

$\displaystyle \frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0$

$\displaystyle \frac{7x^3-2}{x^4+2x^3-2}=0$

Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

Por ejemplo:

$\displaystyle \sqrt[n]{P(x)}=0$

$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{P(x)}}{Q(x)}=0$

$\displaystyle \frac{P(x)}{\sqrt[n]{Q(x)}}=0$

Ecuaciones no polinómicas

1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente, por ejemplo:

$\displaystyle 2^{2x-1}=4$

$\displaystyle \sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}$

$\displaystyle 2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28$

2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo, por ejemplo:

$\displaystyle \log(2)+\log(11-x^2)=2\log(5-x)$

$\displaystyle 4\log\left (\frac{x}{5} \right )+\log\left (\frac{625}{4} \right )=2\log(x)$

$\displaystyle \log(x)=\frac{2-\log(x)}{\log(x)}$

3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones, por ejemplo:

$\displaystyle \cos(2x)=1+4\sin(x)$

$\displaystyle \cos^2(x)-2\sin^2(x)=0$

$\displaystyle 2\tan(x)-3\cot(x)-1=0$

Ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en {x} en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5ºDespejar la incógnita.

Ejemplo:

Resolver {2(x+1)-3(x-2)=x-6}

1º Quitamos paréntesis.

{\begin{array}{rcl} 2(x+1)-3(x-2)&=&x-6 \\ && \\ 2x+2-3x+6 & =&x-6 \end{array}}

2º Agrupamos los términos en {x} en un miembro y los términos independientes en el otro.

{\begin{array}{rcl} 2(x+1)-3(x-2)&=&x-6 \\ && \\ 2x+2-3x+6 & =&x-6 \\ && \\ 2x-3x-x & =& -6-2-6 \end{array}}

3º Reducimos los términos semejantes.

{\begin{array}{rcl} 2(x+1)-3(x-2)&=&x-6 \\ && \\ 2x+2-3x+6 & =&x-6 \\ && \\ 2x-3x-x & =& -6-2-6 \\ && \\ -2x & = & -14 \end{array}}

4ºDespejamos la incógnita.

{\begin{array}{rcl} 2(x+1)-3(x-2)&=&x-6 \\ && \\ 2x+2-3x+6 & =&x-6 \\ && \\ 2x-3x-x & =& -6-2-6 \\ && \\ -2x & = & -14 \\ && \\ x&=&7 \end{array}}

Ejemplo:

Resolver ${\displaystyle\frac{x+1}{6}-\frac{3(x-2)}{8}=x-6}$

1º Quitamos paréntesis.

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+1}{6}-\frac{3(x-2)}{8}&=&x-6 \\ && \\ \displaystyle\frac{x+1}{6}-\frac{3x-6}{8}&=&x-6 \end{array}}

2º Quitamos los denominadores multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores {mcm(6, 8)=24}

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+1}{6}-\frac{3(x-2)}{8}&=&x-6 \\ && \\ \displaystyle\frac{x+1}{6}-\frac{3x-6}{8}&=&x-6 \\ && \\ 24\left(\displaystyle\frac{x+1}{6}-\frac{3x-6}{8}\right)&=&24(x-6) \\ && \\ 4(x+1)-3(3x-6)&=&24(x-6) \\ && \\ 4x+4-9x+18&=&24x-144 \end{array}}

3º Agrupamos los términos en {x} en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducimos los términos semejantes.

5ºDespejamos la incógnita.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4, …: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x

Estudio de los problemas con relojes

Problemas de relojes

Para resolver problemas de relojes debemos tener en cuenta la siguiente regla:

El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.

Ejemplos

Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?

x es el arco que describe la aguja horaria.

(15 + x) es el arco que describe el minutero.

El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria

15 + x = 12x

x = 15/11 min = 1.36 min − 1min = 0.36

Los 0.36 minutos los multiplicamos por 60 y obtenemos 21 segundos

Las agujas se superpondrán un minuto y 21 segundo después de la tres y cuarto: 3 h 16 min 21 s

Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto?

Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco más, que llamaremos x.

x es el arco que describe la aguja horaria.

25 + x, es el arco que describe el minutero.

El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria

25 + x = 12x

x = 25/11 min = 2.27 min − 2 min = 0.27

Los 0.27 minutos los multiplicamos por 60 y obtenemos 16 segundos

Las agujas se superpondrán 2 minutos y 21 segundo después de la 2 h 25 min: 2h 27 min 16 s

Estudio de problemas de movimiento rectilíneo uniforme

Problemas de móviles

Para plantear problemas sobre móviles que llevan velocidad constante se utilizan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme:

espacio = velocidad × tiempo

Podemos encontrarnos con tres casos de problemas de móviles:

1. Los móviles van en sentido contrario

Ejercicio de moviles que van en sentido contrario

El espacio recorrido por el primero hasta el punto de encuentro más el espacio que ha recorrido el segundo es igual a la distancia que los separa

Ejemplo:

Dos ciudades {A} y {B} distan ${300 \, km}$ entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad {A} un coche hacia la ciudad {B} con una velocidad de ${90 \, km/h}$ , y de la ciudad {B} parte otro hacia la ciudad {A} con una velocidad de ${60 \, km/h}$ . Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse; la hora del encuentro; la distancia recorrida por cada uno.

El tiempo que tardarán en encontrarse

1º Conocemos para cada coche la velocidad. Sustituimos en la fórmula de espacio y obtenemos

2º Sabemos que el espacio recorrido por el primer coche más el espacio recorrido por el segundo es igual a ${300 \, km}$

{\begin{array}{rcl} e_{AC} + e_{CB} & = & 300 \\ && \\ 90t + 60t & = & 300 \end{array}}

3º Resolvemos la ecuación anterior

{ \begin{array}{rcl} 90t + 60t & = & 300 \\ & & \\ 150t & = & 300 \\ & \\ t & = & \displaystyle\frac{300}{150} \\ & & \\ t & = & 2 \end{array}}

Los autos tardarán 2 horas en encontrarse.

La hora del encuentro

Se encontrarán a las 11 de la mañana porque parten a las 9 de la mañana y transcurren dos horas hasta el encuentro.

La distancia recorrida por cada coche

Para encontrar la distancia recorrida por cada coche, sustituimos el tiempo ${t=2 \, h}$ en la fórmula de espacio recorrido

De esta forma tenemos que el primer coche recorre ${180 \, km}$ y el segundo coche recorre ${120 \, km.}$

2. Los móviles van en el mismo sentido

Ejercicio de moviles que van en la misma direccion

El espacio recorrido por el primer vehículo menos el espacio recorrido por el 2º vehículo es igual a la distancia que los separa

Ejemplo:

Dos ciudades {A} y {B} distan ${180\, km}$ entre sí. A las 9 de la mañana sale un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de {A} circula a ${90 \, km/h}$ , y el que sale de {B} va a ${60 \, km/h}$ . Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse; la hora del encuentro; la distancia recorrida por cada uno.

El tiempo que tardarán en encontrarse

1º Conocemos para cada coche la velocidad. Sustituimos en la fórmula de espacio y obtenemos

2º Sabemos que el espacio recorrido por el primer coche menos el espacio recorrido por el segundo es igual a ${180 \, km}$

{\begin{array}{rcl} e_{AC} - e_{CB} & = & 180 \\ && \\ 90t - 60t & = & 180 \end{array}}

3º Resolvemos la ecuación anterior

{ \begin{array}{rcl} 90t - 60t & = & 180 \\ & & \\ 30t & = & 180 \\ & \\ t & = & \displaystyle\frac{180}{30} \\ & & \\ t & = & 6 \end{array}}

Los autos tardarán 6 horas en encontrarse.

La hora del encuentro

Se encontraran a las 3 de la tarde porque parten a las 9 de la mañana y transcurren seis horas hasta el encuentro.

La distancia recorrida por cada cochePara encontrar la distancia recorrida por cada coche, sustituimos el tiempo ${t=6 \, h}$ en la fórmula de espacio recorrido: ${e_{AB} = (90)(6)}= 540$ , ${e_{BC} = (60)(6)}= 360$ . De esta forma tenemos que el primer coche recorre ${540 \, km}$ y el segundo coche recorre ${360 \, km.}$

3. Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido

El espacio recorrido por el primer vehículo es igual al espacio recorrido por el segundo.

Ejemplo:

Un coche sale de la ciudad {A} con velocidad de {90, km/h} . Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de ${120 \, km/h}$ . Hallar el tiempo que tardará el segundo coche en alcanzar al primero; la distancia a la que se produce el encuentro.

El tiempo que tardará el segundo coche en alcanzar al primero.

1º Si el tiempo empleado por el primer coche es {t} , el del segundo que sale tres horas más tarde será {t-3} .

Sustituimos en la fórmula de espacio y obtenemos

2º Sabemos que el espacio recorrido por ambos coches es el mismo

{\begin{array}{rcl} e_{1} & = & e_{2} \\ && \\ 90t & = & 120(t-3) \end{array}}

3º Resolvemos la ecuación anterior

{ \begin{array}{rcl} 90t & = & 120(t-3) \\ & & \\ -30t & = & -360 \\ & \\ t & = & \displaystyle\frac{-360}{-30} \\ & & \\ t & = & 12 \end{array}}

El primer coche tarda ${12 \, h}$ .

El segundo coche tarda ${(12-3) = 9 \, h}$ .

La distancia a la que se produce el encuentro.

Calculamos el espacio recorrido por uno de los dos coches

Estudio de los problemas de grifos

Problemas de grifos sin desagüe

En una hora el primer grifo llena 1/t₁ del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/t₂del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

Ejemplo

Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?

En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

7x = 12

x = 12/7 horas

Problemas de grifos con desagüe

En una hora el primer grifo llena 1/t₁ del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/t₂del depósito.

En una hora el desagüe vacia 1/t₃ del depósito.

En una hora se habrá llenado:

Estudio de problemas de mezclas

Problemas de mezclas

$C_{1}\rightarrow 1^{a}$ cantidad. $C_{1}=x$

$C_{2}\rightarrow 2^{a}$ cantidad. $C_{2}=C_{m}-x$

$C_{m}\rightarrow$ Cantidad de la mezcla $C_{m}=C_{1}+C_{2}$

$P_{1}\rightarrow$ Precio de la $1^{a}$ cantidad

$P_{2}\rightarrow$ Precio de la $2^{a}$ cantidad

$P_{m}\rightarrow$ Precio de la mezcla

C_{1}\cdot P_{1}+C_{2}\cdot P_{2}=C_{m}\cdot P_{m}

También podemos poner los datos en una tabla

\begin{matrix} \hline & \textup{Cantidad} & \textup{Precio} & \textup{Coste}\\ \hline 1^{a}\textup{sustancia} & C_{1} & P_{1} & C_{1}\cdot P_{1}\\ 2^{a}\textup{sustancia} & C_{2} & P_{2} & C_{2}\cdot P_{2}\\ \textup{Mezcla} & C_{1}+C_{2} & P & C_{1}\cdot P_{1}+C_{2}\cdot P_{2} \\ \hline \end{matrix}

C_{1}\cdot P_{1}+C_{2}\cdot P_{2}=(C_{1}+C_{2})\cdot P_{m}

Ejemplo

Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a $40 \, \euro$ el kg y la segunda a $60 \, \euro$ el kg.

¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener kilos de mezcla a $50 \, \euro$ el kg?

\begin{matrix} \hline & 1^{a}\, \textup{clase} & 1^{a}\, \textup{clase} & \textup{Total}\\ \hline \textup{kg} & x & 60-x & 60\\ \textup{valor} & 40\cdot x & 60\cdot (60-x) & 60\cdot 50 \\ \hline \end{matrix}

40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600 40x+3600-60x=3000

Tenemos que mezclar kg de la $1^{a}$ clase y otros de la $2^{a}$ .

Problemas de aleaciones

La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino, es decir, más valioso, y el peso total.

Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo en cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla.

C₁ · L₁ + C₂ · L₂ = (C₁ + C₂) · L_a

Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

	1ª ley	2ª ley	Total
Nº de g	x	1800 − x	1800
Plata	0.750 · x	0.950 · (1800 − x)	0.900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90 x = 450

1ª ley 450 g

2ª ley 1350 g

Estudio de problemas geométricos

Con ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado también se utilizan para resolver gran numero de problemas geométricos en los que aparece una incógnita.

Ejemplo

Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.

C x

B x + 40

A x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;

3x = 60; x = 20

C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º

Ecuaciones de 2º grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

${ax^2 + bx + c = 0,}$ con ${a \neq 0}$

Resolución de ecuaciones de 2º grado

La ecuación de segundo grado se resuelve aplicando la siguiente fórmula:

{\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}

Ejemplo: Hallar las soluciones de ${6x^2 - 5x + 1 = 0}$

1º Primero encontramos los valores de los coeficientes

2º Sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 -4(6)(1)}}{2(6)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm 1}{12} \end{array}}

3º Observamos que se obtienen dos valores para {x} , estos usualmente se representan por ${x_1, x_2}$

{\displaystyle x = \left \{ \begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} \end{array} \right. }

4º Simplificamos los resultados y obtenemos

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \end{array} }

Discriminante y tipos de soluciones

El radicando de la raíz cuadrada que se encuentra en la fórmula que se emplea para resolver una ecuación de segundo grado, se conoce como discriminante

A partir del discriminante se puede conocer el tipo de soluciones de la ecuación de segundo grado

1º Si $b^2 -4ac > 0$ , entonces $x_1, x_2$ son soluciones reales y distintas.

2º Si $b^2 -4ac = 0$ , entonces $x_1, x_2$ son soluciones reales e iguales.

3º Si <img src="https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2109ba6b01fd7312c97aed78dc98ecc2_l3.png" alt="{\displaystyle b^2 -4ac , entonces la ecuación no posee soluciones reales.

Ejemplo: Determinar los tipos de soluciones de $6x^2 - 5x + 1$

Los coeficientes son ${a = 6, \ \ b = -5, \ \ c = 1}$

Sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos

{\begin{array}{l}\displaystyle b^2 - 4ac = \displaystyle (-5)^2 - 4(6)(1) = 1 \end{array}}

Como el discriminante es mayor que cero, entonces la ecuación de segundo grado posee dos soluciones reales y distintas.

Ejercicios de ecuaciones de 2º grado a partir de sus soluciones

Hallar las ecuaciones de segundo grado que tienen por soluciones:

${x_1 = 2, \ x_2 = 5}$

1ºSi conocemos las raíces ${x_1 = 2, \ x_2 = 5}$ de la ecuación de segundo grado, podemos escribir esta como

{x^2 + (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

2ºSustituimos las raíces y obtenemos

3ºAsí, la ecuación buscada es

1ºSi conocemos las raíces ${x_1 = -10, \ x_2 = -2}$ de la ecuación de segundo grado, podemos escribir esta como

2ºSustituimos las raíces y obtenemos

{x^2 + (-10 - 2)x + (-10) \cdot (-2) = 0}

3ºAsí, la ecuación buscada es

Ejercicios de factorización de ecuaciones de 2º grado

Factorizar las siguientes ecuaciones de segundo grado

${x^2 - 14x + 45 = 0}$

1ºLos coeficientes de la ecuación de segundo grado son: ${a = 1, \ b = -14, \ c = 45}$ .

2º Sustituimos los valores en la fórmula para obtener las soluciones y resolvemos

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 -4(1)(45)}}{2(1)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm 4}{2} \end{array}}

3º Observamos que se obtienen dos valores para {x} , estos usualmente se representan por ${x_1, x_2}$

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{14 + 4}{2} = 9 \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{14 - 4}{2} = 5 \end{array}}

4º La factorización buscada viene dada por ${(x - x_1)(x - x_2) = 0}$

{\begin{array}{rcl} (x - 9)(x - 5) & = & 0 \end{array} }

1ºLos coeficientes de la ecuación de segundo grado son: ${a = 1, \ b = 2, \ c = 0}$ .

2º Sustituimos los valores en la fórmula para obtener las soluciones y resolvemos

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 -4(1)(0)}}{2(1)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 0}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-2 \pm \sqrt{4}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-2 \pm 2}{2} \end{array}}

3º Observamos que se obtienen dos valores para {x} , estos usualmente se representan por ${x_1, x_2}$

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{-2 + 2}{2} = 0 \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{-2 - 2}{2} = -2 \end{array}}

4º La factorización buscada viene dada por ${(x - x_1)(x - x_2) = 0}$

{\begin{array}{rcl} (x - 0)(x + 2) & = & 0 \\\\ x(x + 2) & = & 0 \end{array} }

1ºLos coeficientes de la ecuación de segundo grado son: ${a = 9, \ b = 0, \ c = -5}$ .

2º Sustituimos los valores en la fórmula para obtener las soluciones y resolvemos

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(0) \pm \sqrt{(0)^2 -4(9)(-5)}}{2(9)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm \sqrt{0 + 180}}{18} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm \sqrt{180}}{18} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm 6 \sqrt{5}}{18} \end{array}}

3º Observamos que se obtienen dos valores para {x} , estos usualmente se representan por ${x_1, x_2}$

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{6 \sqrt{5}}{18} = \frac{\sqrt{5}}{3} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{-6\sqrt{5}}{18} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \end{array}}

4º La factorización buscada viene dada por ${(x - x_1)(x - x_2) = 0}$

{\begin{array}{rcl} \left (x - \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} \right ) \left (x + \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} \right ) & = & 0 \\\\ \left (\displaystyle \frac{3x - \sqrt{5}}{3} \right ) \left (\displaystyle \frac{3x + \sqrt{5}}{3} \right ) & = & 0 \\\\ (9)\left (\displaystyle \frac{3x - \sqrt{5}}{3} \right ) \left (\displaystyle \frac{3x + \sqrt{5}}{3} \right ) & = & (9)(0) \\\\ \left(\displaystyle 3x - \sqrt{5} \right) \left (\displaystyle 3x + \sqrt{5} \right ) & = & 0 \end{array} }

Igualdad

Identidad

Ecuación

Tipos de ecuaciones según su grado

Ecuaciones polinómicas enteras

Ecuaciones polinómicas racionales

Ecuaciones polinómicas irracionales

Ecuaciones no polinómicas

Problemas de relojes

Ejemplos

Problemas de móviles

1. Los móviles van en sentido contrario

2. Los móviles van en el mismo sentido

3. Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido

Problemas de grifos sin desagüe

Problemas de grifos con desagüe

Problemas de mezclas

Ejemplo

Con ecuaciones de primer grado

Resolución de ecuaciones de 2º grado

Discriminante y tipos de soluciones

Ejercicios de ecuaciones de 2º grado a partir de sus soluciones

Ejercicios de factorización de ecuaciones de 2º grado

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