Teoría Funciones

  • Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas.
  • El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas (0, 0).
  • El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
  • La coordenada  x es positiva a la derecha del origen.
  • La coordenada  x  es negativa a la izquierda del origen.
  • El eje vertical se llama eje  Y  o eje de ordenadas.
  • La coordenada  y es positiva por encima del origen.
  • La coordenada  y  es negativa por debajo del origen.
  • Las coordenadas de un punto cualquiera  P  se representan por  (x,y) .
  • La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada  x  del punto o abscisa del punto.
  • La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada  y  del punto u ordenada del punto.
representación gráfica del eje del plano, origen, ejes, y un punto

Representación de puntos

Vamos a representar en unos ejes de coordenadas el punto P(2, 4):

1Marcamos la primera coordenada (la absisa) en el eje OX y la segunda coordenada (la ordenada) en el eje OY

2Desde cada punto trazamos una recta discontinua paralela al otro punto y el punto de corte entre las dos rectas es el punto buscado.

Representación de puntos

Vamos a representar en unos ejes de coordenadas el punto P(2, 4):

1Marcamos la primera coordenada (la absisa) en el eje OX y la segunda coordenada (la ordenada) en el eje OY

2Desde cada punto trazamos una recta discontinua paralela al otro punto y el punto de corte entre las dos rectas es el punto buscado.

Signos de cada cuadrante

 AbscisaOrdenada
1er cuadrante++
2º cuadrante−+
3er cuadrante−−
4º cuadrante+−

El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.

Ejemplos

Representa en los ejes de coordenadas los puntos:

A(1, 4), B(–3, 2), C(0, 5), D(–4, –4), E(–5, 0), F(4, –3), G(0, –2), I(3, 0),

Una tabla de valores es una representación de datos, mediante pares ordenados, que expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones.

La siguiente tabla nos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramos que compremos.

Kg de patatasPrecio en €
12
24
36
48
510

La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en un examen.

Nota012345678910
Nº de alumnos1123611127421

Las tablas de valores se utilizan para representar estos valores en unos ejes de coordenada teniendo en cuenta que la primera columna o fila (dependiendo de la orientación que le demos) es la de la coordenada x y la segunda de la coordena y.

Representamos los valores de la primera tabla en unos ejes de coordenadas:

Si unimos estos puntos obtenemos una gráfica

A medida que compramos más patatas el precio de esta va aumentando proporcionalmente

Todo sobre la representación gráfica

  • Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.
  • La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable {x}.
  • La variable que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable {y}.
  • La variable {y} está en función de la variable {x}.
  • Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
  • Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.
  • Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha.
  • El segundo paso es analizar cómo varía la variable dependiente {y}, al aumentar la variable independiente {x}.

Ejemplos de representaciones gráficas 

1 La siguiente tabla dos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramos que compremos.

Kg de patatas12345
Precio en €246810
Ejemplo de representacion grafica 1

En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.

2 La siguiente tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en un examen.

Nota012345678910
Nº de alumnos1123611127421
Ejemplo de representacion grafica 2

En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.

TIPOS DE GRÁFICAS

Gráfica creciente

Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la variable dependiente.

grafica creciente

Gráfica decreciente

Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la variable dependiente.

grafica decreciente

Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.

grafica creciente y decreciente

Gráfica constante

Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la variable dependiente permanece invariable.

grafica constante

Concepto de función

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

Ejemplo:

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 0.5x + 3

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

Como podemos observar, la función relaciona dos variables. x e y.

x es la variable independiente.

y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.

x0102030
y = 0.5x + 3381318

Hemos hallado la variable dependiente (y), sustituyendo los valores de la variable independiente (x) en la función.

y = 0.5 · 0 + 3 = 3

y = 0.5 ·10 + 3 = 8

y = 0.5 · 20 + 3 = 13

y = 0.5 · 30 + 3 = 18

Función lineal y función identidad

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Para su representación son necesarios al menos dos puntos.

Ejemplo:

y = 2x

Le damos valores a la función

y = 2 · 0 = 0

y = 2 · 1 = 2

y = 2 · 2 = 4

y = 2 · 3 = 6

y = 2 · 4 = 8

x01234
y = 2x02468

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Función identidad

La función identidad es del tipo:

y = x

Su gráfica es una recta que:

Pasa por el origen de coordenadas

Tiene de pendiente: m = 1

Forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º

Función constante

La función constante es del tipo:

y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Ejemplo:

Representar la función y = 3

Para representar la función trazamos una recta paralela al eje de abscisas que pase por (0, 3)

La gráfica es una recta vertical paralela a al eje de abscisas.

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K

Funciones II

tipos de funciones y su clasificación imagen

Las funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución como en este ejemplo : f(x)=5x-2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es necesario efectuar operaciones, como en este ejemplo  5x - y - 2 = 0

Ademas de esta clasificación, hay 6 otros tipos de funciones algebraicas

1 Funciones polinómicas

  • Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
  • f(x)=a_0+a_1x+a_2x+a_3x+...+a_nx^{n}
  • Su dominio es \mathbb{R} , es decir, cualquier número real tiene imagen.

2 Funciones constantes

  • El criterio viene dado por un número real.
  • f(x) = k
  • La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

3 Funciones polinomicas de primer grado

1f(x) = mx + n

  • Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
  • Son funciones de este tipo las siguientes:
  • Función afín

2 f(x) = mx

  • Función lineal

3 f(x) = x

  • Función identidad

4 f(x) = ax² + bx + c

  • Funciones cuadráticas
  • Son funciones polinómicas de segundo grado,
  • La gráfica de una función polinómica es una parábola.

4 Funciones racionales

\displaystyle f(x)=\frac{a_0+a_1x+a_2x^{2}+...+a_nx^{n}}{b_0+b_1x+b_2x^{2}+...+b_mx^{m}}
  • El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
  • El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

5 Funciones radicales

  • El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
  • El dominio de una función irracional de índice impar es \mathbb{R} .
  • El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

6 Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto

Función parte entera de x

Función mantisa

Función signo

Las funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

1 Funciones exponenciales

f(x)=a^{x}

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  a^{x} se llama función exponencial de base a y exponente x.

2 Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial
en base a.

f(x)=log_ax
a> 0, a\neq 1

3 Funciones trigonométricas

Función seno

f(x)= sen \ x

Función coseno

f(x)= cos \ x

Función tangente

f(x)= tg \ x

Función cosecante

f(x)= cosec \ x

Función secante

f(x)= sec \ x

Función cotangente

f(x)= cotg \ x

Función cuadrática

Las funciones polinómicas son aquellas constituidas por un polinomio, un ejemplo de estas es la función cuadrática o de segundo grado, representada con una gráfica de parábola y la siguiente ecuación:

f(x)=ax^{2}+bx+c

Representación gráfica de la parábola

Para construir una gráfica de parábola se requiere conocer los siguientes elementos:

Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola, es decir, cuando el coeficiente del término x^{2} es positivo el vértice será el punto más bajo de la gráfica y las fórmulas para encontrarlo son las siguiente:

x_{v}=-\cfrac{b}{2a}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{v}=f\left ( -\cfrac{b}{2a} \right )
V\left ( -\cfrac{b}{2a},f\left ( -\cfrac{b}{2a} \right ) \right )

Así mismo, la ecuación del eje de simetría es:

x=-\cfrac{b}{2a}

Puntos de corte con el eje X

Para encontrar el valor de x cuando f(x)=0, la segunda coordenada debe igualarse a cero, por lo que tendremos que resolver la siguiente igualdad:

ax^{2}+bx+c=0

Al resolver la ecuación anterior los resultados pueden ser:

  1. Dos puntos de corte: (x_{1},0) y (x_{2},0) esto sucede si b^{2}-4ac> 0
  2. Un punto de corte: (x_{1},0) esto sucede si b^{2}-4ac= 0
  3. Ningún punto de corte si b2 -4ac< 0

Punto de corte con el eje Y

Para encontrar la intersección con el eje Y la primera coordenada debe igualarse a cero, x=0, por lo que tendremos:

f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c=c\; \; \; \Rightarrow \; \; \; (0,c)

Ejemplo

Para representar la función f(x)=x^{2}-4x+3 es necesario encontrar los siguientes elementos que componen la parábola:

Vértice

Aplicamos las formulas descritas en el apartado anterior para encontrar la coordenadas del vértice que son:

V\left ( -\cfrac{b}{2a},f\left ( -\cfrac{b}{2a} \right ) \right )
x_{v}=-\cfrac{-4}{2}=2\; \; \; \; \; y_{v}=2^{2}-4\cdot 2+3=-1

Entonces las coordenadas del vértice son: V(2,-1)

Puntos de corte con el eje X

Para encontrar el punto o los puntos de corte con el eje X, igualamos la función con 0, tal como se indicó anteriormente:

x^{2}-4x+3=0

Para resolver la ecuación, utilizamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
x=\cfrac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\cfrac{4\pm 2}{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \begin{matrix} x_{1}=3\\ x_{2}=1 \end{matrix}

En este caso hemos encontrado dos puntos de corte los cuales son: (3,0) y (1,0)

Punto de corte con el eje Y

Para encontrar el punto de corte con Y basta con conocer el valor de la constante c que en este caso es 3 y las coordenadas son: (0,3).

Grafica de una funcion cuadratica

Gráfica de la función cuadrática

Partimos de y=x^{2}

\begin{matrix} \hline x & & y=x^{2 }\\ \hline -2 & & 4 \\ -1 & & 1 \\ 0 & & 0 \\ 1 & & 1 \\ 2 & & 4 \\ \hline \end{matrix}
Grafica de la funcion x al cuadrado

Traslación vertical

Si nuestra función es y=x^{2}+k

Donde:

  • k>0, entonces y=x^{2} se desplaza hacia arriba k unidades.
  • k < 0, entonces y=x^{2} se desplaza hacia abajo k unidades.

En este caso el vértice de la parábola es: (0.k).

Y el eje de simetría x=0.

Desplazamiento vertical de la función x al cuadrado

Traslación horizontal

Para la ecuación y=(x+h)^{2}

Donde:

  • Si, h>0, entonces y=x^{2} se desplaza hacia la izquierda h unidades.
  • Si, h < 0, entonces y=x^{2} se desplaza hacia la derecha h unidades.

En este ejercicio el vértice de la parábola es: (-h,0).

Y el eje de simetría es x=-h.

Desplazamiendo horizontal de la funcion x al cuadrado

Traslación oblicua

Por último en la siguiente expresión y=(x+h)^{2}+k,el vértice de la parábola es: (-h,k).

Y el eje de simetría es x=-h.

Traslaciones de parábolas

Partimos de y = x²

xy = x²
-24
-11
00
11
24

Caso 1: Traslación vertical

y = x² + k

Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades

Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades

El vértice de la parábola es: (0, k)

El eje de simetría x = 0

y = x² + 2 y = x² − 2

Caso 2: Traslación horizontal

y = (x + h)²

Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades

Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades

El vértice de la parábola es: (−h, 0)

El eje de simetría es x = −h

y = (x + 2)²y = (x − 2)²

Caso 3: Traslación oblicua

y = (x + h)² + k

El vértice de la parábola es: (−h, k)

El eje de simetría es x = −h

y = (x − 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2

Dilataciones y contracciones de funciones

Contracción de una función

Una función f(k·x) se contrae si K > 1.

Dilatación de una función

Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

{f(x)=\displaystyle\frac{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+ \cdots + a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+ \cdots + b_{m}x^{m}}}

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de {x} que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

{f(x)=\displaystyle\frac{k}{x}}
Ejemplo de funciones racionales representacion grafica

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones

{f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}}
Ejemplo de dos funciones racionales representacion grafica

Traslaciones de hipérbolas

Las hipérbolas    son las más sencillas de representar.

Sus asítontas son los ejes

El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

Caso 1: Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a)

Si a > 0,  se desplaza hacia arriba a unidades

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a < 0,  se desplaza hacia abajo a unidades

Caso 2: Traslación horizontal

El centro de la hipérbola es: (–b, 0)

Si< b > 0,  se desplaza a la izquierda b unidades

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b < 0,  se desplaza a la derecha b unidades

El centro de la hipérbola es: (3, 0)

Caso 3: Traslación oblicua

El centro de la hipérbola es: (–b, a)

El centro de la hipérbola es: (3, 4).

Para representar hipérbolas del tipo:

se divide y se escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (–b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.

Ejemplo

El centro de la hipérbola es: (-1, 3).

Dominio de las funciones radicales

El criterio de las funciones radicales viene dado por la variable {x} bajo el signo radical.

Función radical de índice impar

Estas funciones tienen como dominio los números reales {\mathbb{R}}

Ejemplos de funciones radicales de índice impar

1{f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5x+6}}

1Como el índice radical de {f(x)} es impar, entonces el dominio de {f(x)} son todos los números reales {\mathbb{R}}.

2Su gráfica es

Grafica de función radical con indice impar 1

2{f(x)=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x}{x^{2}-5x+6}}}

1Como el índice radical de {f(x)} es impar, entonces su dominio de {f(x)} debería ser todos los números reales {\mathbb{R}}, pero al mismo tiempo posee un denominador que se hace cero cuando {x=2,3}.

2Combinando ambas informaciones, el dominio de {f(x)} es

{\mathbb{R}-\{2,3\}}

3Su gráfica es

Grafica de función radical con indice impar 2

Función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Ejemplos de funciones radicales de índice par

1{f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+6}}

1Para calcular el dominio hacemos el radicando mayor o igual que cero

{\begin{array}{rcl} x^{2}-5x+6 &\ge & 0 \\ & & \\ (x-3)(x-2)&\ge & 0 \end{array}}

2Notamos que para {x=2,3} se satisface la desigualdad.

3Los valores {x=2,3} dividen la recta real en tres intervalos: {(-\infty, 2], [2,3]} y {[3, \infty)}

4Verificamos cuales de los tres intervalos satisfacen la desigualdad, los que satisfagan conformarán el dominio

solucion grafica de una desigualdad 1

5El dominio de {f(x)} es {(-\infty, 2] \cup [3,\infty)}

6La gráfica de {f(x)} es

Grafica de funcion radical de indice par 1

2{f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-5x+6}}{x+4}}

1Para calcular el dominio hacemos el radicando mayor o igual que cero

{x^{2}-5x+6 \ge 0 }

2El dominio del radicando es {(-\infty, 2] \cup [3,\infty)}

3Eldenominador de {f(x)} se hace cero cuando {x=-4}, por ello no puede ser parte del dominio.

4El dominio de {f(x)} es {(-\infty,-4)\cup (-4, 2] \cup [3,\infty)}

5La gráfica de {f(x)} es

Grafica de funcion radical de indice par 2

3{f(x)=\displaystyle\frac{x+4}{\sqrt{x^{2}-5x+6}}}

1Para calcular el dominio hacemos el radicando mayor que cero, no puede ser igual a cero ya que se encuentra en el denominador

{x^{2}-5x+6 >0 }

2El dominio de {f(x)} es {(-\infty, 2) \cup (3,\infty)}

5La gráfica de {f(x)} es

Grafica de funcion radical de indice par 3

4{f(x)=\displaystyle\sqrt{\frac{x+4}{x^{2}-5x+6}}}

1Para calcular el dominio hacemos el radicando mayor o igual que cero

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+4}{x^{2}-5x+6}&\ge & 0 \\ & & \\ \displaystyle\frac{x+4}{(x-3)(x-2)}&\ge & 0 \end{array}}

2Notamos que para {x=2,3} hacen cero el denominador, mientras que {x=-4} satisface la desigualdad.

3Los valores anteriores dividen la recta real en cuatro intervalos: {(-\infty, -4), (-4,2], [2,3]} y {[3, \infty)}

4Verificamos cuales de los cuatro intervalos satisfacen la desigualdad, los que satisfagan conformarán el dominio

solucion grafica de una desigualdad 2

5El dominio de {f(x)} es {[-4, 2) \cup (3,\infty)}

6La gráfica de {f(x)} es

Grafica de funcion radical de indice par 4

Funciones definidas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.

Función parte entera de x

Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

f(x) = E(x)

xf(x) = E(x)

00
0.50
0.90
11
1.51
1.91
22

Función mantisa

Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

f(x) = x – E(x)

xf(x) = x – E(x)

00
0.50.5
0.90.9
10
1.50.5
1.90.9
20

Función signo

f(x) = sgn(x)

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

4. Representamos la función resultante

Ejemplos

1. 

Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

Se forman intervalos con la raíz y se evalúa el signo de cada intervalo

Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

Representamos la función

D = ℛ

2. 

Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces

Se forman intervalos con la raíces y se evalúa el signo de cada intervalo

Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

Representamos la función

D = ℛ

La función exponencial

La función exponencial es aquella que a cada valor real {x} le asigna la potencia {a^x} con  0}»> y {a \neq 1}. Esta función se expresa

{f(x) = a^x}

el número {a} se denomina base.

Gráficas de funciones exponenciales

Estudiemos el comportamiento de la función exponencial de acuerdo a su base

Construimos una tabla de valores para {f(x) = 2^x}

{x}{f(x)}
-31/8
-21/4
-11/2
01
12
24
38

Trazamos la gráfica

Gráfica de una función exponencial
Ahora construimos una tabla de valores para {g(x) = \displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^x}

{x}{g(x)}
-38
-24
-12
01
11/2
21/4
31/8

Trazamos la gráfica

Graficación de una función exponencial

Observamos que la primera función es estrictamente creciente, mientras que la segunda es estrictamente decreciente; además ambas son simétricas respecto al eje {y}

Gráfica de 2 funciones exponenciales

Función exponencial natural

Esta se denota por {f(x) = e^x } donde {e} está dado por

{e = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }

Esta notación fue introducida por Leonhard Euler hacia 1730, al descubrir muchas propiedades de este número. El número {e} es irracional y sus primeras diez cifras decimales son {2. 7182818284 \dots}.

Propiedades de la función exponencial

1 Dominio: {\mathbb{R}}.

2 Recorrido: {(0, \infty)}.

3 Es continua.

4Los puntos {(0,1)} y {(1,a)} pertenecen a la gráfica.

5 Es inyectiva {\forall a \neq 1} (ninguna imagen tiene más de un original).

6 Creciente si  1}»>.

7 Decreciente si  0 < a < 1

8 Las curvas {f(x) = a^x} y {g(x) = \displaystyle \left( \frac{1}{a} \right)^x } son simétricas respecto al eje {y}.

9 La función exponencial {f(x) = a^x}, con  1}»> eventualmente crece más rápido que la función potencia {x^n} para cualquier {n \in \mathbb{N}}.

10 La función inversa de la función exponencial {f(x) = a^x} es {f^{-1}(x) = \log_a x }. La función inversa de la exponencial natural es {f^{-1} = \ln x }.

Aplicaciones de la función exponencial

Las funciones exponenciales se emplean para modelar una amplia variedad de fenómenos como el crecimiento de poblaciones y las tasas de interés.

Crecimiento y decrecimiento exponencial

La fórmula que se emplea para modelar el crecimiento de una población viene dada por

{P(t) = P_0 e^{kt} }

La función {P(t)} crece exponencialmente y representa la cantidad de la población a tiempo {t}; {k} representa la constante de crecimiento o decrecimiento; si {k > 0} se llama constante de crecimiento, mientras que si k < 0 se llama constante de decrecimiento. {P_0} representa la población inicial a tiempo cero, esto es, {P(0) = P_0}.

La fórmula anterior se encuentra expresada en función de la exponencial natural, pero en algunas ocasiones se expresa con base {a}, esto es sencillo de obtener, basta aplicar las propiedades de los exponentes a {e^{kt} = \left( e^k \right)^t } y considerar {a = e^k} para obtener

{P(t) = P_0 a^t}

Ejemplo: Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación  se tienen {3,500} bacterias y media hora después se tienen {5,489}, encuentra:

1 La cantidad de bacterias al cabo de dos horas.

2 La cantidad de bacterias al cabo de tres horas.

3 La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora.

4 El tiempo requerido para duplicar la población inicial.

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a {15,000}?

Para poder responder a lo solicitado, primero necesitamos conocer en la fórmula de crecimiento poblacional {P(t) = P_0 e^{kt} } con {t } expresado en minutos.

Notamos que conocemos la población inicial {P_0 = 3,500 }, pero nos falta el valor de la constante de crecimiento. Para encontrar el valor de {k } utilizamos los datos del problema: {P(30) = 5,489 } en la fórmula de crecimiento

{ 3,500 e^{30k} = P(30) = 5,489 }

Dividiendo ambos lados por { 3,500 } y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

{\begin{array}{rcl} 3,500 e^{30k} & = & 5,489 \\\\ e^{30k} & = & \displaystyle \frac{5,489}{3,500} \\\\ \ln \left ( e^{30k}\right ) & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{5,489}{3,500} \right ) \\\\ 30k & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{5,489}{3,500} \right ) \\\\ k & = & 0.015 \end{array} }

Así la función que modela el crecimiento de la población de bacterias es

{P(t) = 3,500 e^{0.015t} }

1 La cantidad de bacterias al cabo de dos horas es

{P(120) = 3,500 e^{0.015(120)} = 21, 173 }

2 La cantidad de bacterias al cabo de tres horas

{P(180) = 3,500 e^{0.015(180)} = 52, 079 }

3 La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora

Durante la segunda hora, el tiempo de {t = 60} a {t = 120}, la población cambió en {P(120) - P(60)}, por lo que la tas promedio en este periodo de tiempo es

{\begin{array}{rcl} A & = & \displaystyle \frac{P(120) - P(60)}{120 - 60} \\\\ & = & \displaystyle \frac{21,173 - 8,608}{60} \\\\ & \approx & 209 \end{array}}

La población aumenta a la tasa promedio aproximada de {209} bacterias por minuto durante la segunda hora.

4 El tiempo requerido para duplicar la población inicial

Para esto empleamos la siguiente igualdad

{ 3,500 e^{300.015 t} = 2(3,500) }

Dividiendo ambos lados por { 3,500 } y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

{\begin{array}{rcl} 3,500 e^{0.015 t} & = & 2(3,500) \\\\ e^{0.015 t} & = & \displaystyle \frac{2(3,500)}{3,500} \\\\ \ln \left ( e^{0.015 t}\right ) & = & \ln \left ( \displaystyle 2 \right ) \\\\ 0.015 t & = & \ln \left ( \displaystyle 2 \right ) \\\\ t & \approx & 46.21 \end{array} }

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias se duplique es { 46.21 } minutos.

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a {15,000}?

Para esto empleamos la siguiente igualdad

{ 3,500 e^{300.015 t} = 15,000 }

Dividiendo ambos lados por { 3,500 } y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

{\begin{array}{rcl} 3,500 e^{0.015 t} & = & 15,000 \\\\ e^{0.015 t} & = & \displaystyle \frac{15,000}{3,500} \\\\ \ln \left ( e^{0.015 t}\right ) & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{15,000}{3,500} \right ) \\\\ 0.015 t & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{15,000}{3,500} \right ) \\\\ t & \approx & 97.02 \end{array} }

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias sea de { 15,000 } es de { 97.02 } minutos.

 Interés compuesto

Se invierte una cantidad inicial de dinero {P_0} a una tasa de interés {r} expresada en decimales. Si el interés se capitaliza una sola vez, entonces el saldo a obtener {P} después de sumar el interés es

{P = P_0 +P_0 r = P_0 (1+r)}

Si el interés se capitaliza más de una vez, el interés que se suma a la cuenta durante un periodo ganará interés durante los periodos siguientes. Si la tasa anual de interés es {r} y el interés se capitaliza {k-}veces por año, entonces al final de {t} años, el interés se capitalizó {kt-}veces y el saldo llamado valor futuro es

{P(t) = P_0 \left( 1 +\displaystyle \frac{r}{k} \right)^{kt} }

Ejemplo: Si se invierten {\$ 500} a una tasa de {5\%} anual. Hallar el valor futuro a {3} años si el interés es compuesto trimestralmente.

Para encontrar el valor futuro después de {3} años si el interés se capitaliza trimestralmente, empleamos {t = 3, P_0 = 500, r = 0.05, k = 4}.

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

{P(3) = 500 \left( 1 +\displaystyle \frac{0.05}{4} \right)^{(4)(3)} = 580.37 }

El saldo obtenido después de {3} años es de {\$ 580.38}

Interés compuesto continuamente

Para saber el saldo de una inversión al final de {t} años cuando la frecuencia de capitalización se incrementa sin límite, esto es, el interés no se capitaliza trimestral, ni mensual, ni diariamente, sino continuamente, se emplea la fórmula

{P(t) = P_0 e^{kt} }

Ejemplo: Si se invierten {\$ 500} a una tasa de {5\%} anual. Hallar el valor futuro a {3} años si el interés es compuesto continuamente.

Para encontrar el valor futuro después de {3} años si el interés se capitaliza continuamente, empleamos {t = 3, P_0 = 500, r = 0.05}.

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

{P(3) = 500 e^{(0.05)(3)} = 580.92 }

El saldo obtenido después de {3} años es de {\$ 580.92} y es el límite superior para el saldo posible.

Logaritmos y funciones logarítmicas

Definición de logaritmo

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener dicho número.

\log_{a}x=y\Rightarrow a^{y}=x
a> 0,a\neq 1

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Logaritmos decimales y neperianos

Los logaritmos decimales tienen base 10. Se representan por \mathbf{log(x)}

Los logaritmos neperianos (conocidos como logaritmos naturales) tienen e. Se representan por \mathbf{ln(x)} o \mathbf{L(x)}

Ejemplos de uso de la definición de logaritmo

Escribir los siguientes logaritmos en notación exponencial

1 \log_{2}(4)=2 \Rightarrow 2^{2}=4

2 \log_{3}(81)=4 \Rightarrow 3^{4}=81
 

3 \log_{10}(0,001)=-3 \Rightarrow 10^{-3}=0,001
 

4 \log_{2}(4)=2 \Rightarrow 2^{2}=4
 

Usando la definición de logaritmo y álgebra, calcular el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones

 
1 \displaystyle \log_{\frac{1}{2}}(0,25)=y

Aplicamos la definición de logaritmo y pasamos el 0,25 a fracción decimal y la simplificamos:

\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=0,25
\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=\cfrac{25}{100}
\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=\cfrac{1}{4}

El \displaystyle \frac{1}{4} lo ponemos en forma de potencia e igualamos los exponentes

\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=\left (\cfrac{1}{2} \right )^{2}\Rightarrow \mathbf{y=2}

2 \log_{\sqrt{5}}(125)=y

Aplicamos la definición de logaritmo y la raíz se pone en forma de potencia de exponente fraccionario

\displaystyle \left (\sqrt{5} \right )^{y}=125
\displaystyle 5^{\frac{1}{2}y}=5^{3}

Igualamos los exponentes

\displaystyle \frac{1}{2}y=3\Rightarrow \mathbf{y=6}

3 log (0,001)=y

Aplicamos la definición de logaritmo y 0,001 se pasa a fracción decimal

10^{y}=0,001
\displaystyle 10^{y}=\frac{1}{1000}

El cociente lo pasamos a potencia de base 10 e igualamos los exponentes

\displaystyle 10^{y}=10^{-3}\Rightarrow \mathbf{y=-3}

4 \displaystyle \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}}=y

Aplicamos la definición de logaritmo, las raíces se ponen en forma de potencia de exponente fraccionario y se igualan los exponentes

\displaystyle \left (\sqrt{3} \right )^{y}=\sqrt[5]{\frac{1}{81}}
\displaystyle 3^{\frac{1}{2}y}=3^{-\frac{4}{5}}
\displaystyle \mathbf{y=-\frac{8}{5}}

5 \displaystyle ln\left ( \frac{1}{e^{5}} \right )=y

Aplicamos la definición de logaritmo, teniendo en cuenta que la base del logaritmo neperiano es e.

La fracción se pone en forma de potencia y se igualan los exponentes

\displaystyle e^{y}=\frac{1}{e^{5}}
e^{y}=e^{-5}
\mathbf{y=-5}

Propiedades de los logaritmos

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

\log(A\cdot B) = \log A + \log B
\log_{2}(4\cdot 8)=\log_{2}(4)+\log_{2}(8)=2+3=5

2 El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor

\displaystyle \log(\frac{A}{B}) = \log A - \log B
\displaystyle \log_{2}\left ( \frac{8}{4} \right )=\log_{2}(8)-\log_{2}(4)=3-2=1

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

\log A^{n} = n\cdot \log A
\log_{2}(8^{4})=4\cdot \log_{2}(8)=4\cdot 3=12

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz

\displaystyle \log\sqrt[n]{A} = \frac{\log A}{n} = \frac{1}{n}\cdot \log A
\displaystyle \log_{2}(\sqrt[4]{8})=\frac{1}{4}\cdot \log_{2}(8)=\frac{1}{4}\cdot 3=\frac{3}{4}

De las propiedades 3 y 4 podemos deducir que:

\displaystyle \log\sqrt[n]{A^{m}} = \frac{m\cdot \log A}{n} = \frac{m}{n}\cdot \log A

5 El logaritmo base » de » es .

\log_{a}a = 1

6 El logaritmo de  es  (Sin importar la base del logaritmo)

\log 1=0

Por lo tanto:

\log 10=1
\ln e=1

7 El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero

Para      \log X=Y      se cumple que       0″>

Función logarítmica

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

f(x)=\log_{a}x
a> 0 , a\neq 1

Ejemplos de funciones logarítmicas

f(x)=\log_{2}(x)
xy=\log_{2}(x)
\displaystyle \frac{1}{8}-3
\displaystyle\frac{1}{4}-2
\displaystyle\frac{1}{2}-1
10
21
42
83

Representación gráfica de una función logarítmica logaritmo en base 2 de x

f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)
xy=\log_{\frac{1}{2}}(x)
\displaystyle\frac{1}{8}3
\displaystyle\frac{1}{4}2
\displaystyle\frac{1}{2}1
10
2-1
4-2
8-3

Representación gráfica de la función logarítmica en base 1/2 de x

Las propiedades de las funciones logarítmicas

  • Dominio: \mathbb{R}^{+}
  • Recorrido: \mathbb{R}
  • Es continua
  • Los puntos (1,0) y (1,0) pertenecen a la gráfica.
  • Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
  • Creciente si a>1
  • Decreciente si 0 < a < 1 

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

a>1
Representación gráfica de una función logarítmica simétrica con a › 1

0 < a < 1

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Dominio: ℛ

Recorrido: [−1, 1]

Período: 2π rad

Continuidad: Continua en ∀x ∈ ℛ

Impar: sen(−x) = −sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Dominio: ℛ

Recorrido: [−1, 1]

Período: 2π rad

Continuidad: Continua en ∀x ∈ ℛ

Par: cos(−x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Dominio: ℛ – {(2k + 1) · π/2, k ∈ℤ} = ℛ – {…,–π/2, π/2, 3π/2, …}

Recorrido: ℛ

Continuidad: Continua en: ∀ x ∈ ℛ – {π/2 + πk}

Período: π rad

Impar: tg(−x) = −tg x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Dominio: ℛ – {k · π, k ∈ℤ} = ℛ – {…,–π, 0, π, …}

Recorrido: ℛ

Continuidad: Continua en: x ∈ ℛ – {πk, k ∈ ℤ}

Período: π rad

Impar: cotg(−x) = −cotg x

Función secante

f(x) = sec x

Dominio: ℛ – {(2k + 1) · π/2, k ∈ℤ} = ℛ – {…,–π/2, π/2, 3π/2, …}

Recorrido: (− ∞, −1] ∪ [1, ∞)

Período: 2π rad

Continuidad: Continua en ∀ x ∈ ℛ – {π/2 + πk}

Par: sec(−x) = sec x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Dominio: ℛ – {(2k + 1) · π/2, k ∈ℤ} = ℛ – {…,–π/2, π/2, 3π/2, …}

Recorrido: (− ∞, −1] ∪ [1, ∞)

Período: 2π rad

Continuidad: Continua en: x ∈ ℛ – {πk, k ∈ ℤ}

Impar: cosec(−x) = −cosec x