ÁREAS Y VOLUMENES

Área y volumen del tetraedro

Área y volumen del Tetraedro

representación gráfica del tetraedro
A= \sqrt 3 \cdot a^{2}
\displaystyle V= \frac{\sqrt 2}{12} \cdot a^{3}

Como un tetraedro está formado por 4 triángulos equiláteros, podemos hallar el área de un triángulo equilátero y multiplicar por 4 para obtener el área del tetraedro.

Área del triángulo equilátero

Representación gráfica del triángulo equilátero
\displaystyle a^{2}= h^{2}+ \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h=\sqrt{ a^{2} - \frac{a^2}{4}}
\displaystyle h=\sqrt { \frac{4 \cdot a^2 - a^2}{4}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h=\frac{\sqrt 3}{2}\cdot a
\displaystyle A_{\vartriangle}= \frac{a \cdot \frac{\sqrt 3}{2}\cdot a }{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\vartriangle}= \frac{\sqrt 3}{4}{\cdot a^2}
\displaystyle A_{Te}= 4 \cdot \frac{\sqrt 3}{4}\cdot a^2 = \sqrt 3 \cdot a^2

Área y volumen del octaedro e icosaedro

Área y volumen del octaedro

Área y volumen del icosaedro

Área y volumen dodecaedro

Área del pentágono regular

Área y volumen del dodecaedro

Área y volumen del cubo y ortoedro

Área y volumen del cubo

Área y volumen del ortoedro

Área y volumen del prisma y la pirámide

Prisma

Es un poliedro irregular que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales las cuales son paralelogramos.

Área y volumen del prisma

Formula de volumen del prisma representación gráfica

1 Elementos:

{P_{B}} es el perímetro de la base;

{A_{B}} es el área de la base;

{h} es la altura del prisma.

2 Área lateral

{A_{L}=P_{B}\cdot h}

3 Área total

{A_{T}=A_{L}+2A_{B}}

4 Volumen

{V=A_{B}\cdot h}

Pirámide

Es un poliedro que consta de un polígono simple llamado base y triángulos llamados caras que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base.

Área y volumen de la pirámide

Formula de volumen de la piramide representación gráfica

1 Elementos:

{P_{B}} es el perímetro de la base;

{A_{B}} es el área de la base;

{h} es la altura de la pirámide;

{A_{p}} es la apotema de la pirámide;

{a_{p}} es la apotema de la base;

{A_{p}^{2}=h^{2}+a_{p}^{2}\cdot h}

2 Área lateral

{A_{L}=\displaystyle\frac{P_{B}\cdot A_{p}}{2}}

3 Área total

{A_{T}=A_{L}+A_{B}}

4 Volumen

{V=\displaystyle\frac{A_{B}\cdot h}{3}}

Área y volumen del tronco de pirámide

Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

Elementos de un tronco de pirámide:

1Base menor: La sección determinada por al corte es la base menor.

2Cara:Las caras laterales son trapecios isósceles.

3Apotema:Las apotemas son las alturas de los trapecios isósceles.

4Altura:La altura es la distancia entre las bases.

Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base menor y el vértice.

Área y volumen del cilindro, cono y tronco de cono

En las siguientes fórmulas {g, A_{L}, A_{T}, V} representan la generatriz, área lateral, área total y volumen de la figura, respectivamente.

Área y volumen del cilindro

Formula de area y volumen del cilindro
{g=h}
{A_{L}=2\pi r h}
{A_{T}=2\pi r (h+r)}
{V=\pi r^{2} h}

Área y volumen del cono

Formula de areay volumen del cono
{g^{2}=h^{2}+r^{2}}
{A_{L}=\pi r g}
{A_{T}=\pi r (g+r)}
{V=\displaystyle\frac{\pi r^{2} h}{3}}

Área y volumen del tronco de cono

Formula de areay volumen del tronco del cono
{A_{L}=\pi g(R+r) }
{A_{T}=\pi [g(R+r)+R^{2}+r^{2}]}
{V=\displaystyle\frac{1}{3}\pi h (R^{2}+ r^{2}+Rr)}

Esfera, hemisferio, huso, casquete y zona esférica

Esfera

La esfera es el espacio geométrico de puntos que equidistan a un mismo punto que se denomina centro. El radio es la distacia entre el centro y un punto de la esfera, y se denota r.

esfera representación gráfica

Área de una esfera

\displaystyle A=4\cdot \pi \cdot r^2

Volumen de una esfera

\displaystyle V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3

Semiesfera

Es cada una de las partes en que queda dividida la superficie esférica por un plano que pasa por el centro de la esfera, llamado plano diametral. También se le conoce como hemisferio.

hemisferio representación gráfica

Área de la semiesfera

\displaystyle A=2\cdot \pi \cdot r^2

Volumen de la semiesfera

\displaystyle V=\frac{2}{3}\pi\cdot r^3

Ejemplos

  • La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

SOLUCIÓN:

1Calcular el área

Necesitaremos la fórmula del área

A=2\cdot \pi \cdot r^2
\text{\'Area}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} A=2\cdot \pi \cdot 50^2= 15\ 707.96\, m^2

2Calcular el coste

Para calcular el importe total, el área que necesita restaurarse se tiene que multiplicar por lo que cuesta restaurar cada metro cuadrado

\text{Importe}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} 15\ 707.96 \cdot 300= 4\ 712\ 388.98 €

Huso esférico

huso esferico representación gráfica

El huso esférico es la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.

cuña esférica representación gráfica

Área del huso esférico

\displaystyle A=\frac{4\cdot \pi \cdot r^2}{360}\cdot n

Volumen de la cuña esférica

\displaystyle V=\frac{4}{3}\cdot \frac{\pi\cdot r^3}{360}\cdot n

Casquete esférico

Un casquete esférico es cada una de las partes de la esfera determinada por un plano secante.casquete esférico representación gráfica

\displaystyle R=\frac{r^2+h^2}{2h}

Área del casquete

A=2\cdot \pi \cdot R \cdot h

Volumen del casquete esférico

V=\frac{1}{3}\pi\cdot h^2 \cdot (3R-h)

Ejemplo

  • Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.casquete esferico representación gráfica

SOLUCIÓN:

1Calcular el área

A=2\cdot \pi \cdot 7\cdot 5=219.91 \ \text{cm}^2

2Calcular el volumen

V=\frac{1}{3}\pi\cdot 5^2\cdot (3\cdot 7-5)=418.88\ \text{cm}^3

Zona esférica

Una zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos secantes paralelos.

zona esférica representación gráfica

Área de la zona esférica

\displaystyle A=2\cdot \pi \cdot R \cdot h

Volumen de la zona esférica

\displaystyle V=\frac{1}{6}\pi \cdot h \cdot (h^2+3\cdot R^2+3r^2)

Ejemplo

  • Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 6 cm.

SOLUCIÓN:


1ºCalcular el área

A=2\cdot \pi \cdot 10 \cdot 6=376.99 \ \text{cm}^2

2ºCalcular el volumen

V=\frac{1}{6}\pi \cdot 6 \cdot (6^2+3\cdot 10^2 + 3\cdot 8^2)=1658.76\ \text{cm}^3

zona esferica representación gráfica

Volumen y área del casquete esférico y zona esférica

¿Cuál es la diferencia entre un casquete esférico y una zona esférica?

Para mejor entender las fórmulas del casquete esférico y de la zona esférica, tenemos que entender cuales son las diferencias de estas y cómo se identifican en geometría.

En geometría, un casquete esférico es una porción de una esfera cortada por un plano. Un casquete esferico se puede llamar tambien una cupula esferica, por la forma que tiene. Si la esfera se corta con el plano en el centro y la altura es igual al radio de la esfera, el casquete esférico se llama hemisferio.

Una zona esférica es una porción de una esfera cortada por dos planos paralelos.

Las fórmulas del área del casquete esférico y de la zona esférica son iguales. Mientras el casquete esférico se forma cortando la esfera por un plano, la zona esférica se forma cortando la esfera por dos planos paralelos.

¿Y si pensamos que el casquete esférico puede también ser una esfera cortada por dos planos paralelos pero que simplemente uno de ellos es tangente a la esfera? Pues, esta es la razón por cual las dos fórmulas de cálculo de área son iguales.

Fórmulas del area y volumen del casquete esférico

representación gráfica de esfera con R, r y h
A=2 \cdot \pi \cdot R \cdot h
\displaystyle V=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h^{2} \cdot ( 3R - h )
\displaystyle R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h}

Área y volumen de la zona esférica

La zona esférica, es la zona formada por dos planos paralelos que cortan la esfera.

Propiedades de la zona esférica

Las bases de la zona esférica son las circunferencias de las secciones formadas por los dos planos paralelos.

La altitud h de la zona es la distancia perpendicular entre estos dos planos paralelos.

Si uno de los planos paralelos delimitadores es tangente a la esfera, entonces la zona esférica se llamará (con más precicison) casquete esferico y la superficie delimitada tendrá una base.

Área de la zona

El área de una zona esférica (dos bases) o de un casquete esférico (una base) es igual al producto de su altitud h y la circunferencia del gran círculo de la esfera.

representación gráfica de esfera y zona esférica
A=2 \cdot \pi \cdot R \cdot h
\displaystyle V=\frac{1}{6} \cdot \pi \cdot h \cdot ( h^2 + 3R^2 + 3r^2 )

Ejercicio de casquete esférico

Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

grafica de esfera con casquete esferico
A=2 \cdot \pi \cdot 7 \cdot 5 =219.91 \ cm
\displaystyle V=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 5^{2} \cdot ( 3 \cdot 7 - 5 )= 418.88 \cm^3