Geometría en el espacio

Poliedro

Elementos de un poliedro

Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Caras

Cara: Cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas

Aristas: Los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices

Vértices: Los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros

Ángulos diedros: Los ángulos formados por cada dos caras que tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos

Ángulos poliédricos: Los ángulos formados por tres o más caras del poliedro con un vértice común.

Diagonales

Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Ángulo diedro

Es la porción de espacio limitada por dos semiplanos que se llaman caras.

Ángulo poliedro

Es la porción de espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice.

Un ángulo poliedro debe medir menos de 360º.

Clasificación de poliedros

Poliedro convexo

En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Relación de Euler

En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

Poliedro cóncavo

En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algun angulo diedro entrante.

Clases de poliedros según el número de caras

Poliedros regulares

Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.

Sólo existen cinco poliedros regulares:

  1. Tetraedro
  2. Hexaedro o cubo
  3. Octaedro
  4. Dodecaedro
  5. Icosaedro

Poliedros irregulares

Un poliedro irregular está definido por polígonos que no son todos iguales.

Tetraedro

Poliedro de 4 caras.

Pentaedro

Poliedro de 5 caras.

Hexaedro

Poliedro de 6 caras.

Heptaedro

Poliedro de 7 caras.

Octaedro

Poliedro de 8 caras.

Eneaedro

Poliedro de 9 caras.

Decaedro

Poliedro de 10 caras.

Endecaedro

Poliedro de 11 caras.

Dodecaedro

Poliedro de 12 caras.

Tridecaedro

Poliedro de 13 caras.

Tetradecaedro

Poliedro de 14 caras.

Pentadecaedro

Poliedro de 15 caras.

Icosaedro

Poliedro de 20 caras.

Poliedros regulares

Definición

Tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.

Sólo hay cinco poliedros regulares.

Clasificación de poliedros regulares:

1 Tetraedro

Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.

Tiene cuatro vértices y seis aristas.

Es una pirámide triangular regular.

Área y volumen del tetraedro

Como un tetraedro está formado por 4 triángulos equilaláteros, podemos hallar el área de un triángulo equilátero y multiplicar por 4 para obtener el área del tetraedro.

2 Hexaedro o cubo

Su superficie está constituida por 6 cuadrados.

Tiene 8 vértices y 12 aristas.

Es un prisma cuadrangular regular.

Área y volumen del cubo

3 Octaedro

Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.

Tiene 6 vértices y 12 aristas.

Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.

Área y volumen del octaedro

4 Dodecaedro

Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.

Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Área y volumen del dodecaedro

5 Icosaedro

Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.

Tiene 12 vértices y 30 aristas.

Área y volumen del icosaedro

Los prismas

Definición de prisma

Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.

Desarrollo plano del prisma

Se le conoce como desarrollo plano de un prisma a la figura o construcción plana que se obtiene si el prisma de «desdobla».

grafica de desarrollo plano de un prisma

Elementos de un prisma:

grafica de elementos de un prisma

La altura de un prisma es la distancia que existe entre las bases.

Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.

En un prisma, las bases son congruentes, es decir son polígonos con el mismo número de lados y las mismas medidas.

Área y volumen de un prisma

grafica prisma

De manera general, el área lateral de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales de un prisma y el área total de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras del prisma (Bases y caras laterales).

A_{L}=P_{B}\cdot h
A_{T}=A_{L}+2\cdot A_{B}

El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de la base, A_{B},  por la altura del prisma, h.

V=A_{B}\cdot h

Tipos de prismas

Prismas regulares

representación gráfica prisma regular

Son los prismas cuyas bases son polígonos regulares.

Prismas irregulares

representación gráfica prisma irregular

Son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares.

Prismas rectos

representación gráfica prisma recto

Son los prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Prismas oblicuos

representación gráfica prisma oblicuo

Son los prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos.

Paralelepípedos

representación gráfica paralepipedo

Los paralelepípedos son los prismas cuyas bases son paralelogramos.

Octoedros

representación gráfica octoedro

Los ortoedros son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares.

Tipos de prismas según su base

Prismas triangular

representación gráfica prisma triangular

Sus bases son triángulos.

Prisma cuadrangular

representación gráfica prisma cuadrangular

Sus bases son cuadrados.

Prisma pentagonal

representación gráfica prisma pentagonal

Sus bases son pentágonos.

Prisma hexagonal

representación gráfica prisma hexagonal

Sus bases son hexágonos.

Ejemplo de ejercicio de prismas

1Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

48\; l =48\; dm^{3}

Sabemos que para calcular el volumen tenemos:

V=A_{B}\cdot h

Despejamos la altura, ‘h’

h=\cfrac{V}{A_{B}}

Sustituimos los datos y resolvemos

h=\cfrac{48}{12}=4\; dm

2 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

representación gráfica prisma base rombo
l^{2}=9^{2}+6^{2}
l=\sqrt{9^{2}+6^{2}}=10.82\; cm
A_{L}=4\cdot (24\cdot 10.82)=1038.72\; cm^{2}
A_{T}=1038.72+2\cdot \cfrac{18\cdot 12}{2}=1254.72\; cm^{2}
V=\cfrac{18\cdot 12}{2}\cdot 24=2592\; cm^{3}

Tipos de pirámides

Definición de pirámide

Poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.

Elementos de una pirámide:

elementos de una piramide

Altura: La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

Apotema: La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Aristas: Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales

Área y volumen de la pirámide

apotema de una piramide
perimetro de la base
apotema de la piramide
apotema de la base
calcular la opotema
area lateral calculo
calcular arista lateral de la pirámide
volumen de la piramide

Clasificación de las pirámides

1 Pirámide regularpiramide regular

Es aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.

2 Pirámide irregularpiramide irregular

Es aquella que tiene de base un polígono irregular.

3 Pirámide convexapiramide convexa

Es aquella cuya base es un polígono convexo.

4 Pirámide cóncavapiramide concava

Es aquella cuya base es un polígono cóncavo.

5 Pirámide rectapiramide recta

Es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.

6 Pirámide oblicuapiramide oblicua

Es aquella en la que alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

Tronco de pirámide

tronco de piramide

Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

Elementos de una pirámide:

La sección determinada por al corte es la base menor.

Las caras laterales son trapecios isósceles.

Las apotemas son las alturas de los trapecios isósceles.

La altura es la distancia entre las bases.

Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base menor y el vértice.

Área y volumen del tronco de pirámide

area y volumen de tronco de piramide
perimetro de la base mayor
perimetro de la base menor
apotema del tronco de piramide
area de la base mayor
area de la base menor
area lateral del tronco de piramide
apotema del tronco de una piramide
volumen del tronco de una piramide

Cilindro

Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

Desarrollo del cilindro

Elementos del cilindro

Eje

Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.

Bases

Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje.

Altura

Es la distancia entre las dos bases.

Generatriz

Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro.

La generatriz del cilindro es igual a la altura.

h = g

Área lateral del cilindro

Área del cilindro

Volumen del cilindro

Ejemplos de cálculo de volumen y área

Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el área total y volumen:

En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?

Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y y 5 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?

Cono

Definición de cono

Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos de un cono:

Desarrollo del cono

Desarrollo del tronco de cono

Eje

Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.

Bases

Es el círculo que forma el otro cateto.

Generatriz

Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a:

Altura

Es la distancia del vértice a la base.

Área y volumen del cono

Área lateral de un cono

Área de un cono

Volumen de un cono

Tronco de un cono

Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

La sección determinada por al corte es la base menor.

Área y volumen del tronco de cono

Ejercicios para practicar

Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

Esfera

Superficie esférica

Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro. La esfera también se puede describir como el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que equidistan a un punto, llamado centro.

Esfera

Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

Elementos de una esfera:

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Área y volumen de la esfera

Circunferencias en una esfera

Paralelos: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.

Ecuador: Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la esfera.

Meridiano: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución.

Hemisferio

Es cada una de las partes en que queda dividida la superficie esférica por un plano que pasa por el centro de la esfera, llamado plano diametral.

Semiesfera

Parte de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.

Huso esférico

Parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.

Cuña esférica

Parte de de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.

Área del huso esférico y volumen de la cuña esférica

Casquete esférico

Es cada una de las partes de la esfera determinada por un plano secante.

Área y volumen del casquete esférico

Zona esférica

Es la parte de la esfera comprendida entre dos planos secantes paralelos.

Área y volumen de la zona esférica