TEORÍA GEOMETRÍA PLANA

Polígono

Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

Elementos de un polígono

1 Lados: Son los segmentos que lo limitan. 2 Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados. 3 Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados consecutivos. Suma de ángulos interiores de un polígono: Si n es el número de lados de un polígono: (n − 2) · 180°4Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivosNúmero de diagonales de un polígono: Si n es el número de lados de un polígono: n · (n − 3) : 2 ejemplo 1 de diagonales de un poligono 4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5

6 · (6 − 3) : 2 = 9

Clasificación de polígonos

Según sus lados:

Triángulos

Tienen 3 lados. ejemplo de triangulo representación gráfica

Cuadriláteros

Tienen 4 lados. ejemplo de cuadrado representación gráfica

Pentágonos

Tienen 5 lados. ejemplo de pentagono representación gráfica

Hexágonos

Tienen 6 lados. ejemplo de hexagono representación gráfica

Heptágonos

Tienen 7 lados. ejemplo de heptagono representación gráfica

Octágonos

Tienen 8 lados. ejemplo de octagono representación gráfica

Eneágono

Tienen 9 lados. ejemplo de eneagono representación gráfica

Decágono

Tienen 10 lados. ejemplo de decagono representación gráfica

Endecágono

Tienen 11 lados. ejemplo de endecagono representación gráfica

Dodecágono

Tienen 12 lados. ejemplo de dodecagono representación gráfica

Tridecágono

Tienen 13 lados. ejemplo de tridecagono representación gráfica

Tetradecágono

Tienen 14 lados. ejemplo de tetradecagono representación gráfica

Pentadecágono

Tienen 15 lados. ejemplo de pentadecagono representación gráfica

Hexadecágono regular

Tiene 16 lados y ángulos iguales.

representación gráfica de hexadecagono regular

Heptadecágono regular

Tiene 17 lados y ángulos iguales. representación gráfica de heptadecagono regular

Octadecágono regular

Tiene 18 lados y ángulos iguales.

representación gráfica deoctadecagono regular

Eneadecágono regular

Tienen 19 lados y ángulos iguales.

representación gráfica eneadecagono regular

Icoságono regular

Tiene 20 lados y ángulos iguales.

representación gráfica de icosagono regular

Según sus ángulos

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°.
Todas sus diagonales son interiores. ejemplo de convexo representación gráfica

Cóncavos

Si un ángulo mide más de 180°.
Si una de sus diagonales es exterior. ejemplo de concavo representación gráfica

Polígonos regulares

Los polígonos regulares tiene sus lados y ángulos iguales y están inscritos en una circunferencia.

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.

1. Circunferencia circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono.

Su centro equidista de todos los vértices.

Su radio es el radio del polígono.

2. Circunferencia inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado.

Su centro equidista de todos los lados.

Su radio es la apotema del polígono.

Elementos de un polígono regular

1 El centro C es el punto interior que equidista de cada vértice.
2 El radio r es el segmento que va del centro a cada vértice.
3 La apotema a es la distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un polígono regular

1Ángulo central de un polígono regular

El ángulo central está formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono,

El ángulo central = 360° : n

Por ejemplo, el ángulo central del pentágono regular es 360° : 5 = 72º

2Ángulo interior de un polígono regular

El ángulo interior está formado por dos lados consecutivos.

El ángulo interior = 180° − Ángulo central

Por ejemplo, el ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

3Ángulo exterior de un polígono regular

El ángulo exterior está formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Por ejemplo, el ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Ángulos de un polígono

Suma de ángulos interiores de un polígono

Los ángulos interiores de un polígono son los determinados por dos lados consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono, la suma es:

S = (n − 2) · 180°.

Suma de ángulos de un triángulo= (3 − 2) · 180° = 180º.

Suma de ángulos de un cuadrilátero= (4 − 2) · 180° = 360º.

Suma de ángulos de un pentágono= (5 − 2) · 180° = 540º.

Suma de ángulos de un hexágono= (5 − 2) · 180° = 720º.

Perímetro y área de un polígono regular

1 El perímetro es igual al número de lados por la longitud del lado.

P = n · l
2 El área es

Ejemplo de calculo de área y perímetro

Halar el perímetro y el área del hexágono:

Clases de triángulos

Triángulo

Un triángulo es un polígono con tres lados.

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Tipos de triángulos

1 Según sus lados:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.

2 Según sus ángulos:

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Teorema del cateto, de la altura y de Pitágoras

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

es la hipotenusa
y son los catetos
es la proyección del cateto sobre la hipotenusa
es la proyección del cateto sobre la hipotenusa

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{m} \hspace{2cm} b^2=a\cdot m

\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{c}{n} \hspace{2cm} c^2=a\cdot n

Ejemplo

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

grafica de triangulo de problema con el teorema del cateto

\displaystyle \frac{c}{30}=\frac{10.8}{c} \hspace{2cm} c^2=30\cdot 10.8

\displaystyle c=\sqrt{30\cdot 10.8} \hspace{2cm} c=18\text{cm}

Teorema de la altura

grafica de triangulo con teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta.

\displaystyle \frac{m}{h}=\frac{h}{n} \hspace{2cm} h^2=m\cdot n

Ejemplo

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden y centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

\displaystyle \frac{9}{h}=\frac{h}{4} \hspace{2cm} h^2=36

\displaystyle h=\sqrt{36} \hspace{2cm} h=6\text{cm}

Teorema de Pitágoras

teorema de pitagoras grafica

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

\displaystyle a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{b^2+c^2}

Ejemplo:

1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden en m y m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa? teorema de pitágoras grafica de triangulo

\displaystyle a^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{m}

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

\displaystyle \begin{matrix} a^2=b^2+c^2 \end{matrix}\hspace{2cm} \begin{matrix} c=\sqrt{a^2-b^2}\\ b=\sqrt{a^2-c^2} \end{matrix}

2La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide m y uno de sus catetos m. ¿Cuánto mide otro cateto? calcular cateto con pitagoras dibujo triangulo

\displaystyle 5^2=3^2+c^2 \hspace{2cm} c=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{m}

Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

3 Determinar si el triángulo es rectángulo. triangulo rectangulo representacion grafica

\displaystyle 5^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} 25=25

Calcular la diagonal del cuadrado

\displaystyle d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}

Calcular la diagonal del rectángulo

Calcular el lado oblicuo del trapecio rectángulo

Calcular la altura del trapecio isósceles

Calcular la altura del triángulo equilátero

\displaystyle l^2=h^2+\left(\frac{l^2}{2}\right)^2 \hspace{2cm} l^2=h^2+\frac{l^2}{4}

\displaystyle h=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}} \hspace{2cm} h=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}

Calcular el apotema de un polígono regular

\displaystyle a=\sqrt{r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}

Calcular el apotema del hexágono inscrito

\displaystyle a=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}

Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito

\displaystyle r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2 \hspace{2cm} \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2

\displaystyle \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\frac{r^2}{4} \hspace{2cm} \frac{l}{2} =\sqrt{\frac{3\cdot r^2}{4}}

\displaystyle \frac{l}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r \hspace{2cm} l=\sqrt{3}\cdot r

Calcular el lado de un cuadrado inscrito

Circunferencia y círculo

Circunferencia

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Centro de la circunferencia: Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Elementos de la circunferencia

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Círculo

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

Elementos de un círculo

Segmento circular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

Sector circular

Porción de círculo limitada por dos radios.

Corona circular

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

Trapecio circular

Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

Polígonos estrellados

Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua.

Se denotan por N/M, siendo N el número de vértices del polígono regular convexo y M el salto entre vértices.

N/M ha de ser fracción irreducible.

El polígono N/M es el mismo que el N/(N-M), ya que el polígono estrellado que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo.