Traslación, giro y simetría

Transformaciones geométricas

Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.

Movimiento o isometría

Movimiento o isometería en el plano es una transformación que conserva las distancias. Puede ser:

1 Movimiento directo

Cuando la figura original y la figura transformada por el movimiento se pueden hacer coincidir sin salir del plano.

2 Movimiento inverso

Cuando la figura original y transformada no pueden hacerse coincidir sin salirse del plano.

Traslación

Representación en el plano de un punto trasladado por un vector v

La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto 

A

 del plano le corresponde otro punto 

A'

 también del plano de forma que 

AA'= \vec v

, siendo 

\vec v

 el vector que define la traslación.
La traslación se designa por 

T_{\overrightarrow{v} }

, luego 

T_{\overrightarrow{v} }(A)=A'

.

El punto A' es el punto trasladado de A.

Un punto y su trasladado se dice que son homólogos.

Coordenadas de un punto mediante una traslación

Representación en el plano de un punto trasladado por un vector v
La traslación T, definida por el vector \vec v del punto A hacia el punto A' se puede entender mediante la siguiente fórmula.

Primero, detallamos cómo se escriben los dátos:

T_{\overrightarrow{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A(x,y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v = (a,b).

El punto A' es igual al punto A, más el vector \vec v:

A' = A + \vec v .
Entonces,

A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

donde,

x'= x+a
y'= y+b

Ejemplo de traslación de un punto

En la representación gráfica, podemos observar el punto A que se traslada al punto A’ mediante el vector \vec v .
representación gráfica de traslación del punto A(4, 1) con vector v(2,3)

Los datos de la traslación son los siguientes:

T_{\overrightarrow{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A(4,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A'(x',y')\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v = (2,3).

Sabemos que la coordenada x' se calcula mediante la fórmula x'= x+a

x'= 4+2 = 6

Calculamos ahora y' con la fórmula y'= y+b
y'= 1+3 = 4

Las coordenadas del punto A'  son A'(6,4)

Traslación de una recta

Representación gráfica de traslación de una recta con vector v

Una recta que se transforma, mediante una traslación, en una recta paralela.

Traslación de una circunferencia

representación gráfica de traslación de un circulo con vector v

La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original.

Composición de traslaciones

Representación gráfica de dos traslaciones con vectores u y v de un triangulo ABC

Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores \vec v y \vec u , se obtiene otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores \vec u + \vec v, donde:

A' = A + \vec u
A" = A + \vec u + \vec v

Ejercicios de traslaciones

1 Una traslación en el plano está definida por un vector \vec v (2,-3)
a Hallar la imagen por dicha traslación de un punto A (1,3).

b Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1.

SOLUCIÓN:

Una traslación en el plano está definida por un vector 

\vec v (2,-3)

a Hallar la imagen por dicha traslación de un punto 

A (1,3)

Primero, escribimos los datos del problema:

\vec v (2,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A (1,3).

Usando la fórmula A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b) para calcular la imágen, obtenemos:

A'=(2,-3)+(1,3)=(2+1,-3+3).
A'=(3,0).

b Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1.

Primero, escribimos los datos del problema:

\vec v (2,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ O (3,4) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r=1

O corresponde a las coordenadas del centro de la circunferencia y r su radio.

Usando, la misma fórmula que en el punto A, calculamos la imagen de O,

O'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b) y obtenemos:

O'=(3,4)+(2,-3)=(3+2,4-3)

O'=(5,1) y la imagen del radio, r'=1 sigue siendo igual que r

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2  En una traslación mediante el vector \vec v, un punto A (3, - 2) se transforma en un punto A' (1,5).
Calcular:
a El transformado del punto B(-2, 4).

b La transformada de una circunferencia de centro (1,2)y radio r=3.

SOLUCIÓN:

En una traslación mediante el vector \vec v, un punto A (3, - 2) se transforma en un punto A' (1,5).
Calcular:
a El transformado del punto B(-2, 4)[/latex].

Primero, escribimos los datos del problema:

A (3, - 2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A'(1,5)

Para poder escribir el transformado del punto B, que vamos a notar B', necesitamos averiguar cual es el vector \vec v.

Sabemos que el vector \vec v se nota con las cooredenadas (a,b).

Usando la fórmula de la traslacion, competamos los datos conocidos (las coordenadas de los puntos A, A':

A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

A'=(3,-2)+(a,b)=(3+a,-2+b)= (1, 5).

Sabemos entoces que:

3+a=1.

a=1-3 = -2.

-2+b=5.

b=5+2= 7.

Teniendo las coordenadas del vector \vec v (-2,7), podemos calcular el transformado del punto B(-2,4).

Usando la misma fórmula,

B'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

Colocamos los datos conocidos:

B'=(-2,4)+(-2,7)=(-2-2,4+7),

y obtenemos:

B'=(-4,11).

b La transformada de una circunferencia de centro (1,2)y radio r=3.

Primero escribimos los datos del problema:

\vec v (-2,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ O(1,2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r = 3

Y calculamos la transformada de la circunfencia, que notamos con O', usando la misma fórmula:

O'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).

B'=(1,2)+(-2,7)=(1-2,2+7).

B'=(-1,9) y r'=3 igual que r.

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3 Una traslación tiene de vector \vec v (3,-3). Hallar la figura transformada de un triángulo cuyos vértices son:

A(0,0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(5,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(8,4)

SOLUCIÓN:

Una traslación tiene de vector 

\vec v (3,-3)

. Hallar la figura transformada de un triángulo cuyos vértices son:

A(0,0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(5,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(8,4)

Para poder dibujar la figura transformada, tenemos que averiguar las coordenadas de los puntos Una traslación tiene de vector 

A´ B´ y C´

Primero, escribimos los datos del problema:

A(0,0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(5,7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(8,4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v(3,-3)

Usando la fórmula, calculamos cada una de las coordenadas:

A'=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).
A'=(0,0)+(3,-3)=(3,-3) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A'(3,-3).
B'=(5,7)+(3,-3)=(5+3,7-3)=(8,4) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B'(8,4) .
C'=(8,4)+(3,-3)=(8+3,4-3)=(11,1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C'(11,1).

Teniendo las coordenadas, podemos dibujar la figura:

Simetría central

Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P’, siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P’.

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0)

Un punto P’ homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(0,0) tiene de coordenadas:

Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

P’ = (-x, -y)

x’ = -x       y’ = -y

Coordenadas mediante una simetría de centro O(a, b)

Un punto P’ homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(a ,b) tiene de coordenadas:

P’ = (-x+ 2a, -y+ 2b)

x’ = -x + 2a

y’ = -y + 2b

Composición de simetrías centrales

1

Con el mismo centro

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva.

2

Con distinto centro

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

3

Centro de simetría

Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.

Simetría axial

Representación gráfica de simetria axial

Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'.Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.\overline{AB}=\overline{A'B'}

Coordenadas de puntos mediante simetrías axiales

Coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas

Grafica de coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas

Dos puntos A(x,y)y A'(x',y') simétricos respecto del eje de ordenadas:

  • tienen sus abscisas opuestas
  • tienen sus ordenadas iguales
P(x,y) \rightarrow P(-x,y)
x=-x' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=y'

Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas

grafica de coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas

Dos puntos A(x,y) y A'(x',y') simétricos respecto del eje de abscisas:

  • tienen sus abscisas iguales
  • tienen sus ordenadas opuestas
P(x,y) \rightarrow P(x,-y)
x=x' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=-y'

Composición de simetrías axiales

1Simetría de ejes paralelosRepresentación gráfica de simetría de ejes paralelos

La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene las siguientes características:

  • La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.
  • La dirección del vector es perpendicular a los ejes.
  • El sentido es el que va de e a e'

2Simetría de ejes perpendicularesRepresentación gráfica de simetría de ejes perpendiculares

La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

3Eje de simetría

representación gráfica de ejes de simetría

El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.

Giros

Dados un punto O y un ángulo α, se llama giro de centro O y ángulo α a una transformación G que hace corresponder a cada punto P otro P’ = G(P) de modo que:

El sentido de giro positivo de es del contrario al movimiento de las agujas del reloj.

Los giros son movimientos isométricos, dado que conservan las distancias.

1 Giro de centro O(0,0)

2 Giro de centro O'(a,b)

Composición de giros

1 Con el mismo centro

Al aplicar sucesivamente dos giros de igual centro O y amplitudes α y β se obtiene un giro de igual centro O y amplitud igual a la suma de las amplitudes α+β .

2 Con distinto centro