Polinomios

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes:Longitud de la circunferencia: L=2\pi r, donde r es el radio de la circunferencia.Área del cuadrado: S=l^{2}, donde l es el lado del cuadrado.Volumen del cubo: V=a{3}= a³, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número:                    2x

El triple de un número:                                   3x

El cuádruplo de un número:                          4x

La mitad de un número:                                 \cfrac{x}{2}

Un tercio de un número:                                \cfrac{x}{3}

Un cuarto de un número:                               \cfrac{x}{4}

Un número es proporcional a 2, 3, 4,…:     2x,3x,4x,...

Un número al cuadrado:                                x^{2}

Un número al cubo:                                        x^{3}

Un número par:                                               2x

Un número impar:                                          2x+1

Dos números consecutivos:                          x, x+1

Dos números pares consecutivos:               2x, 2x+2

Dos números impares consecutivos:          2x+1, 2x+3

Descomponer 24 en dos partes:                  x, 24-x

La suma de dos números es 24:                  x, 24-x

La diferencia de dos números es 24:          x, x+24

El producto de dos números es 24:           x, \cfrac{24}{x}

El cociente de dos números es 24:            x, 24x

Suma de monomios

Para poder sumar dos o más monomios estos han de ser monomios semejantes, es decir, monomios que tienen la misma parte literal.

La suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

ax^{n}+bx^{n}=(a+b)x^{n}

Ejemplos:

2x^{2}y^{3}z+3x^{2}y^{3}z=(2+3)x^{2}y^{3}z=5x^{2}y^{3}z
4xy+3xy-5xy=2xy
4x-5x-3x+2x=-2x

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:

2x^{2}y^{3}+3x^{2}y^{3}z no se pueden sumar.

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplos:

5\cdot (2x^{2}y^{3}z)=102x^{2}y^{3}z

Es corriente que para indicar la multiplicación no pongamos el signo «por» entre el número y el paréntesis

4(2x^{2}y^{3}z)=8x^{2}y^{3}z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

ax^{n}\cdot bx^{m}=(a\cdot b)x^{n+m}

Ejemplos:

(5x^{2}y^{3}z)\cdot (2y^{2}z^{2})=(2\cdot 5)x^{2}y^{3+2}z^{1+2}=10x^{2}y^{5}z^{3}
4x\cdot (3x^{2}y)=12x^{3}y

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando el grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.

ax^{n}\div bx^{m}=(a\div b)x^{n-m}

Ejemplo:
 

\cfrac{30x^{4}y^{3}}{6xy^{2}}=5x^{4-1}y^{3-2}=5x^{3}y

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo:
 

\cfrac{2x^{5}y^{2}z}{3x^{2}}=\cfrac{2}{3}x^{5-2}y^{2}z=\cfrac{2}{3}x^{3}y^{2}z=\cfrac{2x^{3}y^{2}z}{3}

Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

(ax^{n})^{m}=a^{m}\cdot x^{n\cdot m}

Ejemplos:

(2x^{3})^{3}=2^{3}\cdot (x^{3})^{3}=8x^{9}
(-3x^{2})^{3}=(-3)^{3}\cdot (x^{2})^{3}=-27x^{6}

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPOEJEMPLO
Grado ceroP(x) = -2
Primer gradoP(x) = 3x + 2
Segundo gradoP(x) = 2x^2+ 3x + 2
Tercer gradoP(x) = x^3-2x^2+ 3x + 2
Cuarto gradoP(x) = 5x^4 + x^3-2x^2+ 3x + 2
Quinto gradoP(x) = 2x^5 -5x^4 + x^3- 2x^2+ 3x + 2

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Ejemplo:

Calcular el valor numérico del polinomio: P(x) = 2x^3+ 5x - 3, para los valores

  • x = -1
P(-1) = 2 \cdot (-1)^3+ 5 \cdot (-1)-3 = 2 \cdot (-1) - 5 - 3 = -2 - 5 - 3 = -10
  • x = 0
P(0) = 2 \cdot 0^3+ 5 \cdot 0 - 3 = -3
  • x = 1
P(1) = 2 \cdot 1^3+ 5 \cdot 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Polinomio de varias variables

Un polinomio puede tener varias variables. En este caso, los monomios, de manera análoga, cuetan con un coeficiente y varias variables cada una con un respectivo exponente. Por ejemplo

4x^3yz

Ejemplos:

\text{Una variable} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x)=x^4-x+3
\text{Dos variables} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y)=2x^2y-3x^5+3
\text{Tres variables} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y,z)= xz-3x^5y^2z^2+3z

También se puede obtener el valor numérico de estos

P(x,y)=2x^2y-3x^3+3
P(2,1)=2 (2)^2(1)-3(2)^3+3=8-24+3=-13

Método 1 para sumar polinomios

Pasos:

1º Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.

2º Agrupar los monomios del mismo grado.

3º Sumar los monomios semejantes.

Ejemplo del primer método para sumar polinomios

Sumar los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3,      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.

1ºOrdenamos los polinomios, si no lo están.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

2ºAgrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)

3ºSumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

Método 2 para sumar polinomios

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

Ejemplo del segundo método para sumar polinomios

Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.

1ºAcomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.

Ejemplo suma de polinomios

Así,

2ºP(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.Ejemplo de resta de polinomios1Restar los polinomios P(x) = 2x3 + 5x – 3, Q(x) = 2x³ – 3x² + 4x.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

2Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

3Agrupamos.

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

4Resultado de la resta.

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio

La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplos:

1–3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

2–2(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.

Ejemplo: 

3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) – (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) – (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.

Método 1 para multiplicar polinomios

Pasos:

1º Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

2º Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

1ºSe multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x

2ºSe suman los monomios del mismo grado.

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

3ºSe obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

y P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

Método 2 para multiplicar polinomios

También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.

En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.

 

Ejemplo de multiplicación de polinomios en forma de tabla

División de polinomios

Abordaremos la explicación con un ejemplo.

Ejemplo:

Resolver la división de los polinomios P(x) = x5 + 2x3 − x − 8,        Q(x) = x2 − 2x + 1.

P(x) :  Q(x)

1ºA la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

Ejemplo división de polinomios

2ºA la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

3ºDividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

4ºMultiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Ejemplo división paso 3

5ºVolvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Ejemplo división paso 4

6ºProcedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Ejemplo división repetición de paso anterior

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar dos ejemplos:

Primer ejemplo de la regla de Ruffini

Dividir: x^{4}-3x^{2}+2 \div (x-3)

1ºSi el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

x^{4}-ox^{3}-3x^{2}+ox +2 \div (x-3)

2ºColocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

{ \begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix} }

3ºAbajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor: -(-3) = 3.

{\begin{matrix} \qquad & \qquad1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{3}

4ºTrazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1).

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{ 3}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

5ºMultiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (3) y lo colocamos debajo del siguiente término (0).

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

6ºSumamos los dos coeficientes (0 + 3).

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 \end{matrix}}

7ºRepetimos el proceso anterior 3\cdot 3=9 et -3+9=6).

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 & \hspace{2mm}9 & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 & 6 \end{matrix}}

Volvemos a repetir el proceso 3\cdot 6=18 et 0+18=18(.

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 &\hspace{2mm}9 &18 \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 & 6 & 18 \end{matrix}}

Volvemos a repetir 3\cdot 18=54 et 2+54=56.

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 &\hspace{2mm}9 & 18 & 54 \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 & 6 & 18 & 56 \end{matrix}}

8ºEl último número obtenido, 56, es el resto.

9ºEl cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

Cociente: x^{3}+3x^{2}+6x+18

Resto: 56

 

Segundo ejemplo de la regla de Ruffini

Dividir por la regla de Ruffini: (x^{5}-32)\div (x-2)

1ºSi el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

(x^{5}-ox^{4}+ox^{3}-ox^{2}+ox-32)\div (x-2)

2ºColocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix} }

3ºAbajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor: -(-2) = 2.

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{2}

4ºTrazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1).

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{2}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

5ºMultiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (2) y lo colocamos debajo del siguiente término (0).

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{3.5mm}2 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

6ºSumamos los dos coeficientes (0 + 2).

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{3.5mm}2 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 &2 \end{matrix}}

7ºRepetimos los pasos 5 y 6 hasta el final.

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{3.5mm}2 & 4 &8&16 &32 \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 &2 & 4&8 &16 & 0 \end{matrix}}

8ºEl cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

Cociente: x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16

Resto: 0

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.

\displaystyle \left \left ( a+b \right )^2=a^2+2ab+b^2

Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.

\displaystyle \left \left ( a-b \right )^2=a^2-2ab+b^2

Ejemplos de ejercicios con binomios al cuadrado

1º (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x ² + 6 x + 9

2º (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9

3º (−2x² + 3)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · 3 + 3² = 4x4 − 12x² + 9

4º (−2x² − 3y)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · (−3y) + (−3y)² = 4x4 + 12x²y + 9y²

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

\displaystyle \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^2-b^2

Ejemplos de ejercicios con suma por diferencia

1º (2x + 5) · (2x – 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

2º (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)² − (y³)² = 4x4 − y6

Binomio al cubo

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

\displaystyle \left ( a+b \right )^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Recomendamos aprenderte esta fórmula.

Ejemplos de ejercicios con binomios al cubo

1º (x + 3)³ =

= x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

2º (2x − 3)³ =

= (2x)³ + 3 · (2x)² · (−3) + 3 · 2x · (−3)² + (−3)³ =

= 8x³ − 36x² + 54x − 27

Si nos fijamos en los signos obtenidos: +, −, +, −. Podemos dar una variante a la fórmula anterior:

\displaystyle \left ( a-b \right )^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

3º (−3x² + 2x)³ =

= (−3x²)³ + 3 · (−3x²)² · (2x) + 3 · (−3x²) · (2x)² + (2x)³=

= −27x6 + 3 · 9x4 · 2x − 3 · 3x² · 4x² + 8x³ =

= −27x6 + 54x5 − 36x4 + 8x³

Los signos obtenidos son: −, +, −, +. Podemos dar otra variante:

\displaystyle\left \left ( -a+b \right )^3=-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3

4º (−3xy² − 2xy)³ =

= (−3xy²)³ + 3 · (−3xy²)² · (−2xy) + 3 · (−3xy²) · (−2xy)² + (−2xy)³ =

= −27x³y6 − 3 · 9x²y4 · 2xy − 3 · 3xy² · 4x²y² − 8x³y³ =

= −27x³y6 − 54x³y5 − 36x³y4− 8x³y³

Los signos obtenidos son: −, −, −, −. Podemos dar otra variante:

\displaystyle \left ( -a-b \right )^3=-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.

\displaystyle\left (a+b+c \right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

Ejemplos de ejercicios con trinomios al cuadrado

1º(x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² + 2 · x² · (−x) + 2 · x² · 1 + 2 · (−x) · 1=

= x4 + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x=

= x4 − 2x³ + 3x² − 2x + 1

 

2º(2x² − x − 3)² =

= (2x²)² + (−x)² + (−3)² + 2 · (2x²) · (−x) + 2 · (2x²) · (−3) + 2 · (−x) · (−3) =

= 4x4 + x² + 9 − 4x³ − 12x² + 6x =

= 4x4 − 4x³ − 11x² + 6x + 9

Suma de cubos

Ahora en vez de desarrollar a las expresiones, lo que haremos será factorizarlas, es decir, las escribiremos como el producto de otras dos expresiones.

La forma en que se factoriza la suma de cubos es la siguiente:

\displaystyle a^3+b^3=\left ( a+b \right )\left ( a^2-ab+b^2 \right )

Ejemplo de ejercicio con suma de cubos

Factorizar la expresión siguiente:

\displaystyle 8x^{3}+27=?

Primero, miramos como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:

\displaystyle \left ( 2x \right )^{3}+3^{3}

Utilizando la fórmula de cubos y considerando que \displaystyle a=2x  y  \displaystyle b=3 , tenemos:

\displaystyle \left ( 2x+3 \right )\left ( \left ( 2x \right )^{2}-\left ( 2x\cdot 3 \right ) +3^{2}\right )

Desarrollando, tenemos:

\displaystyle 8x^{3}+27= \left ( 2x+3 \right )\left ( \left 4x^{2}-6x+9)

Diferencia de cubos

La fórmula para diferencia de cubos tiene la siguiente estructura:

\displaystyle a^3-b^3=\left ( a-b \right )\left ( a^2+ab+b^2 \right )

Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos

Factorizar la expresión siguiente:

\displaystyle 8x^{3}-27=?

Igual que anteriormente, es importante mirar, en primer lugar, como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:

\displaystyle \left ( 2x \right )^{3}-3^{3}

Utilizando la fórmula de cubos y considerando que \displaystyle a=2x  y  \displaystyle b=3 , tenemos:

\displaystyle \left ( 2x-3 \right )\left ( \left ( 2x \right )^{2}+\left ( 2x\cdot 3 \right ) +3^{2}\right )

Desarrollando, tenemos:

\displaystyle 8x^{3}-27= \left ( 2x-3 \right )\left ( \left 4x^{2}+6x+9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

Cuando se presenta le producto de dos binomios con término común, es más simple el desarrollo y queda de la siguiente manera:

\displaystyle \left ( x+a \right )\left ( x+b \right )=x^2+\left ( a+b \right )x+ab

Ejemplo de ejercicio con producto de dos binomios con término común

Desarrollar la expresión siguiente:

\displaystyle \left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )=?

No es necesario recordar la fórmula, si, siguiendo los pasos de desarrollo y con atención a los signos, simplemente operamos paso a paso.

Primero, tomamos los términos dentro del primer paréntesis y los multiplicamos con la segunda de esta manera:

\displaystyle \left x( x+3 \right )+ \left 2\left ( x+3 \right ) =

\displaystyle \left ( x^{2}+3x \right )+ \left \left (2 x+3\cdot 2 \right ) =

Recomendamos guardar los paréntesis y deshacerlos posteriormente. Así, nos aseguramos de no haber olvidado cambiar un + por un – o al revés. En este caso, no hay ningún cambio de signo.

\displaystyle \left ( x^{2}+3x \right )+ \left \left (2 x+3\cdot 2 \right ) =

\displaystyle x^{2}+3x + 2 x+6 =x^{2}+5x+6

Ejemplos de ejercicios resueltos de productos notables 

1 Desarrolla los binomios al cuadrado.

1º(x + 5)2 =

= x2 + 2 · x · 5 + 52 =

= x 2 + 10 x + 25

 

2º(2x + 5)2 =

= (2x)2 + 2 · 2x ·5 + 52 =

= 4x2 + 20 x + 25

 

3º(2x − 5)2 =

= (2x)2 – 2 · 2x ·5 + 52 =

= 4x2 − 20 x + 25

 

4º.

 

 

2 Desarrolla los binomios al cubo.

1º (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 · 3 + 3 · 2x · 32 – 33=

= 8x3 – 36 x2 + 54 x – 27

 

2º(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x· 22 + 23 =

= x3 + 6x2 + 12x + 8

 

3º(3x − 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 − 23 =

= 27x 3 − 54x2 + 36 x − 8

 

4º(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 ·(2x)2 · 5 + 3 · 2x · 52 + 5 3 =

= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

 

3 Desarrolla las sumas por diferencias

1º(3x − 2) · (3x + 2) =

= (3x)2 − 22 =

= 9x2 − 4

 

2º(x + 5) · (x − 5) =

= x2 − 25

 

3º(3x² − 2) · (3x² + 2) =

= (3x)2 − 22 =

= 9x4 − 4

 

4º(3x − 5) · (3x + 5) =

= (3x)2 − 52 =

= 9x2 − 25

Teorema del resto

El teorema del resto nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a, es decir P(a).
 
Ejemplo:

P(x) = x4 − 3x2 +2

Q(x) = x − 3

Si calculamos P(x) : Q(x) usando la regla de Ruffini, obtenemos

teorema del resto

El último número (marcado con verde) indica el resto. Es 56.

Ahora, al evaluar P(x) en x=a,

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Notamos que también obtuvimos 56, lo que concuerda con el resultado de la regla de Ruffini.
 
Por tanto el teorema del resto nos permite conocer el resto de la división por un binomio del tipo (x − a).Basta con hallar el valor numérico de P(x) en x = a, es decir, por el valor del término independiente del binomio cambiado de signo.
 
El teorema del resto nos será muy útil para la descomposición en factores de un polinomio y para resolver determinado tipo de ecuaciones.

Raíces de un polinomio

Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio, por tanto su valor numérico es cero, esto es, {x=a} es una raíz de {P(x)} si {P(a)=0}.

Ejemplo:

Comprobar que 2 y 3 son las raíces del polinomio {P(x)=x^2-5x+6}.

1 Evaluamos 2 y 3 en {P(x)} y verificamos si el resultado es cero.

{P(2)=(2)^2-5(2)+6=4-10+6=0,}

{P(3)=(3)^2-5(3)+6=9-15+6=0}

2 Concluimos que 2 y 3 son raíces del polinomio {P(x)}.

Cálculo de las raíces y factores de un polinomio

Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto o residuo y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejemplo:

Encontrar las raíces del polinomio {P(x) = x^2-x-6}.

1º Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 2, \pm 3}.

2º Evaluamos los divisores en el polinomio

{P(1) = 1^2-1-6 \neq 0,}

{P(-1) = (-1)^2-(-1)-6 \neq 0,}

{P(2) = 2^2-2-6 \neq 0,}

{P(-2) = (-2)^2-(-2)-6 = 4 + 2-6 = 0,

{P(3) = 3^2-3-6 = 9-3-6 = 0,

Como el polinomio es de segundo grado tendrá como máximo dos raíces

3º Las raíces son {x =-2 \;} y {\; x = 3}.
 
4º La factorización del polinomio es {P(x) = (x + 2) (x-3)}
 

Ejemplo:

Encontrar las raíces del polinomio {Q(x) = x^3-2x^2-5x + 6}

1º Buscamos los divisores del término independiente, estos son {\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6}.

2º Evaluamos los divisores en el polinomio

{Q(1) = (1)^3-2(1)^2-5(1) + 6 = 0,}

{Q(-1) = (-1)^3-2(-1)^2-5(-1) + 6 \neq 0,}

{Q(2) = (2)^3-2(2)^2-5(2) + 6 \neq 0,}

{Q(-2) = (-2)^3-2(-2)^2-5(-2) + 6 = 0,}

{Q(3) = (3)^3-2(3)^2-5(3) + 6 = 0,}

Como el polinomio es de tercer grado tendrá como máximo tres raíces

3º Las raíces son {x = 1, x = -2 \;} y {\; x = 3}.
 
4º La factorización del polinomio es {Q(x) = (x-1) (x + 2) (x-3 )}

 

FACTORIZAR

Cuando hablamos de factorizar polinomios, hay varias características que tenemos que tener en cuenta.

Si no hay término independiente

Si no hay término independiente hay que sacar factor común. Sacar factor común de una suma (o resta) consiste en trasformarla en un producto.

Aplicaríamos la propiedad distributiva:

a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d = a (b + c -d)

Ejemplo de factorización de polinomio sin termino independiente

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces.

1º x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)

La raíces son: x = 0  y  x = -1

2º  2x^{4} + 4x^{2} = 2x^{2} (x^{2} + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0 porque que el polinomio, x^{2} + 2, no tiene ningún valor que lo anule. Como la x es al cuadrado, el resultado siempre será un número positivo, entonces es irreducible.

Doble extracción de factor común

1 x^{2} - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a)

Sacamos factor común de x  y y.

Como (x-a)  es ahora un factor común, sacamos factor común de (x-a) .

x (x - a) - b (x - a) = (x - a) \cdot (x - b)

La raíces son x=a  y x=b.

Si tenemos un binomio

Cuando tenemos un binomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos:

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

Ejemplos de ejercicios con diferencia de cuadrados:

Descomponer en factores y hallar las raíces

1º x^{2} - 4 = (x + 2) \cdot (x - 2)

Las raíces son x=-2 y x=2

2º x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) \cdot (x^{2} - 4) =

El ultimo termino es también una diferencia de cuadrados, entonces:

(x^{2} + 4) \cdot (x^{2} − 4) = (x + 2) \cdot (x − 2) \cdot (x^{2} + 4)

Las raíces son x=-2   y  x=2

Suma de cubos

a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a+b)^{2} =(a+b) \cdot (a^{2} - ab + b)

Ejemplo de ejercicio con suma de cubos:

8x^{3} + 27 = (2x + 3) \cdot (2x + 3)^{2} = (2x + 3) \cdot (4x^{2} - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a^{3} - b^{3}= (a - b) \cdot (a^{2} + ab + b^{2})

Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos :

8x^{3} - 27 = (2x - 3) (4x^{2} + 6x + 9)

Si tenemos un trinomio

Cuando tenemos un trinomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos 

Descomponer en factores y hallar las raíces

1º    Estructura de un binomio al cuadrado grafica

Tenemos que preguntarnos:

  • ¿Qué número elevado al cuadrado da 9? La respuesta es 3?
  • ¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}?La respuesta es x.

Y tenemos que comprobar que 2 \cdot 3 \cdot x = 6x

La raíz esx=-3, y se dice que es una raíz doble.

2º       estructura de un binomio elevando al cuadrado dibujo

  • ¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}? x
  • ¿Qué número elevado al cuadrado da 4? 2

Y tenemos que comprobar que 2 \cdot x \cdot 2 = 4x

La raíz doble es x = 2.

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax^{2} + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de segundo grado.

Si las soluciones a la ecuación son x_1  y x_2 , el polinomio descompuesto será:

ax^{2} + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

Ejemplos de trinomios de segundo grado 

Descomponer en factores y hallar las raíces

1º x^{2}-5x+6

Igualamos el trinomio a cero

x^{2}-5x+6=0

Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Aplicación de la formula general para ecuaciones de segundo grado

Factorizamos

x^{2}-5x+6=(x-2)\cdot (x-3)

Las raíces son x=3  y x=2 .

2º x^{2}-x-6

Igualamos el trinomio a cero

x^{2}-x-6=0

Resolvemos la ecuación

Aplicacion de la formula general para ecuaciones de 2do grado

Factorizamos

x^{2}-x-6=(x+2)\cdot (x-3)

Las raíces son x=3  y x=-2 .

Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

Ejemplos de trinomios de cuarto grado de exponentes partes

1º x^{4} - 10x^{2} + 9

Igualamos el polinomio a cero

x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0

Realizamos un cambio de variable

x^{2} = t

t^{2} - 10t + 9 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

Aplicación de la formula general a una ecuación con cambio de variable

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

x^{2}=9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3

x^{2}=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{1}=\pm 1

x^{4} - 10x^{2} + 9 = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)

2º x^{4} - 2x^{2} -3

Igualamos el polinomio a cero

x^{4} - 2x^{2} -3 = 0

Realizamos un cambio de variable

x^{2} = t

t^{2} - 2t -3 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

Uso de la formula general para ecuaciones de segundo grado

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

x^{2} =3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{3}

x^{2} = −1, no tiene raíces reales, ya que no existe ningún número que elevado al cuadrado sea negativo

Se factoriza como (x^{2} + 1)

x^{2} =- 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{-1}\notin \mathbb{R}

x^{4} - 2x^{2} + 3 = (x^{2} + 1) \cdot (x +\sqrt{3}) \cdot (x −\sqrt{3})

Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6

Tomamos los divisores del término independiente:\pm 1, \pm 2, \pm 3.

Aplicando el teorema del resto sabremos para qué valores la división es exacta.

P(1)=2 \cdot 1^{4}+1^{3}-8\cdot 1^{2}-1+6=2+1-8-1+6=0

Dividimos por Ruffini.

 

Método de ruffini para dividir

Por ser la división exacta, D=d \cdot c

(x-1)\cdot(2x^{3}+3x^{2}-5x-6)

Una raíz es x=1 .

Continuamos realizando las mismas operaciones para encontrar el segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1)=2\cdot 1^{3}+3 \cdot 1^{2}-5 \cdot 1 -6\neq 0

P(-1)=2\cdot (-1)^{3}+3 \cdot (-1)^{2}-5 \cdot (-1) -6=-2+3+5-6=0

 

División usando el método de Ruffini

 

(x-1)\cdot (x+1)\cdot (2x^{2}+x+6)

Otra raíz es x=-1 .

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar
raíces enteras.

El 1  lo descartamos y seguimos probando por -1 .

P(-1)=2\cdot (-1)^{2}+(-1)-6\neq 0

P(2)=2 \cdot 2^{2}+2-6\neq 0

P(-2)=2 \cdot (-2)^{2}+(-2)-6=2 \cdot 4-2-6= 0

 

División usando Ruffini

 

(x-1)\cdot(x+1)\cdot (x+2)\cdot (2x-3)

Sacamos factor común 2  en último binomio y encontramos una raíz racional.

\displaystyle (2x-3)=2(x-\frac{3}{2})

La factorización del polinomio queda:

\displaystyle P(x)=2x^{4}+x^{3}-8x-x+6=2(x-1)\cdot(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-\frac{3}{2})

\displaystyle x=1, x=-1, x=-2, x=\frac{3}{2}

Raíces racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales. En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x)=12x^{3}+8x^{2}-3x-2

Probamos por:

 

\displaystyle \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}, \pm\frac{2}{3} .

 

\displaystyle P \left ( \frac{1}{2} \right )=12 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+8\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}- 3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )-2=0

 

Primera división de Ruffini

 

Factorizamos. D=d\cdot c

\left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot (12x^{2}+14x+4)

Volvemos a probar por \displaystyle \frac{1}{2}

\displaystyle 12 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+14 \cdot \frac{1}{2}+4\neq 0

Probamos por \displaystyle -\frac{1}{2}

\displaystyle 12 \cdot \left (- \frac{1}{2} \right )^{2}+14 \cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )+4= 0

 

Segunda división de Ruffini

 

Factorizamos: D=d \cdot c

\displaystyle \left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( 12x+8 \right )

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

\displaystyle \left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( x+\frac{2}{3} \right )

Pasos para reducir a común denominador

Nos valdremos de las fracciones siguientes:

1º.Descomponemos los denominadores en factores para hallar el mínimo común múltiplo, que será el común denominador.

x² − 1 = (x + 1) · (x − 1)

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados

x² + 3x + 2 = (x + 1) · (x + 2)

Factorizamos el trinomio igualando a cero y resolviendo la ecuación:

m.c.m. (x² − 1, x² + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2)

2º.Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

     

     

Suma de fracciones algebraicas con distinto denominador

Si las fracciones tienen distinto denominador en primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.

Ejemplo:

Sumar las fracciones algebraicas:

1 {\displaystyle\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{1}{x-1}}

Calculamos el común denominador que será el m.c.m. de los denominadores

{mcm(x+1, x^{2}-1, x-1)=(x-1)(x+1)}

Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente

{\displaystyle\frac{1(x-1)+2x-1(x+1)}{(x-1)(x+1)}}

Quitamos paréntesis

{\displaystyle\frac{1(x-1)+2x-1(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1+2x-x-1}{(x-1)(x+1)}}

Realizamos las operaciones en el numerador

{\displaystyle\frac{1(x-1)+2x-1(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1+2x-x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x-2}{(x-1)(x+1)}}

Sacamos factor común 2 en el numerador

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{1(x-1)+2x-1(x+1)}{(x-1)(x+1)}&=&\displaystyle\frac{x-1+2x-x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ && \\ &=&\displaystyle\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}\end{array}}

Simplificamos

{\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{1(x-1)+2x-1(x+1)}{(x-1)(x+1)} &=&\displaystyle\frac{x-1+2x-x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x+1}\end{array}}

Fórmula de multiplicación de fracciones algebraicas

\cfrac{P(x)}{Q(x)}\cdot \cfrac{R(x)}{S(x)}=\cfrac{P(x)\cdot R(x)}{Q(x)\cdot S(x)}

Ejemplo de multiplicación de facciones algebraicas

Multiplicar las fracciones algebraicas:

\cfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-5x+6}\cdot \cfrac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}

Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador

=\cfrac{(x^{2}-2x)\cdot (x^{2}+4x+4)}{(x^{2}-5x+6)\cdot(x^{2}-4)}

En el numerador sacamos factor común [/latex]x[/latex] y  transformamos el trinomio cuadrado perfecto en un binomio al cuadrado

En el denominador el trinomio de segundo grado lo descomponemos igualando a cero y resolviendo la ecuación y la diferencia de cuadrados se pasa a suma por diferencia

=\cfrac{x\cdot (x-2)\cdot (x+2)^{2}}{(x-2)\cdot (x-3)\cdot (x-2)\cdot (x+2)}

Simplificando nos queda:

=\cfrac{x\cdot (x+2)}{(x-2)\cdot (x-3)}

División Fracciones algebraicas.

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y como denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda

{\displaystyle\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}}

Ejemplos:

Realizar la siguiente división algebraica

{\displaystyle\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-5x+6}:\frac{x^2+4x+4}{x^{2}-4}}

Multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador y el primer denominador por el segundo numerador

{\displaystyle\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-5x+6}:\frac{x^2+4x+4}{x^{2}-4}=\frac{(x^{2}+2x)(x^{2}-4)}{(x^{2}-5x+6)(x^2+4x+4)}}

En el numerador sacamos factor común {x} en el primer binomio y la diferencia de cuadrados la trasformamos en un diferencia de cuadrados. En el denominador el trinomio de segundo grado lo descomponemos resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta de igualarlo a cero y el trinomio cuadrado perfecto lo transformamos en un binomio al cuadrado

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-5x+6}:\frac{x^2+4x+4}{x^{2}-4}&=&\displaystyle\frac{(x^{2}+2x)(x^{2}-4)}{(x^{2}-5x+6)(x^2+4x+4)}\\ && \\ &=& \displaystyle\frac{[x(x+2)][(x-2)(x+2)]}{[(x-2)(x-3)][(x+2)^{2}]} \end{array}}

Simplificando nos queda:

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-5x+6}:\frac{x^2+4x+4}{x^{2}-4}&=&\displaystyle\frac{(x^{2}+2x)(x^{2}-4)}{(x^{2}-5x+6)(x^2+4x+4)}\\ && \\ &=& \displaystyle\frac{[x(x+2)][(x-2)(x+2)]}{[(x-2)(x-3)][(x+2)^{2}]} \\ && \\ &=& \displaystyle\frac{x}{x-3} \end{array}}