Teoría SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan.

a₁, a₂, a₃ ,…, a_n

3, 6, 9,…, 3n

Los números a₁, a₂ , a₃ , … se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es a_n es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Una sucesión se suele expresar entre llaves: {a_n} o entre paréntesis (a_n)

Determinación de una sucesión

Por el término general

a_n= 2n – 1

a₁= 2 · 1 – 1 = 1

a₂ = 2 · 2 – 1 = 3

a₃ = 2 · 3 – 1 = 5

a₄ = 2 · 4 – 1 = 7

{a_n} = 1, 3, 5, 7,…, 2n – 1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

2, 4, 16, 256, …

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Definición de progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por .

Entonces $d=a_n-a_{n-1}$

Ejemplo:

Progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ...

Es una progresión aritmética que se forma sumando al término anterior. Así los siguientes términos serían:

Notamos que la expresión -5n+13 nos da el término enésimo en la progresión.

Por ejemplo para obtener el cuarto término de la progresión sustituyo con ,

A esta expresión se le conoce como el término general.

Calcular el término general

VIDEO EXPLICACIÓN

Para calcular el término general en una progresión aritmética consideramos los siguientes dos casos:

1º Si conocemos el 1^er término.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ...

Primer término

Término general a_n = 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2º Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_k + (n - k) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ...

Término general $a_n = -7 + (n - 4) \cdot (-5) = -7 -5n + 20 = -5n+13$

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos y , y el número de medios a interpolar . La diferencia está dada por:

Ejemplo:

Interpolar tres medios aritméticos entre y .

Tenemos los datos

Usando la fórmula

Podemos obtener el valor de

\displaystyle d=\frac{8-(-12)}{3+1}=\frac{20}{4}=5

Finalmente

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

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Sean a_i y a_j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

Entonces, es cierto que

Ejemplo:

Progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ...

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

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\displaystyle S_n =\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros términos de la progresión: 8, 3, -2, -7, -12, ...

\displaystyle S_5=\frac{(8-12)\cdot 5}{2}=\frac{-20}{2}=-10

Progresiones geométricas

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Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón.

Ejemplo:

Si se tiene a un primer término a₁=3 y a una razón r=4 se puede construir la siguiente progresión geométrica:

3, 12, 48, 192, …

ya que al operar el primer término a₁=3 con la razón r=4 se obtiene que:

3(4)=12

12(4)=48

48(4)=192, …

Como observas, el 12 se obtiene multiplicando 3 por 4, que es la razón, y así sucesivamente hasta llegar al término deseado n.

Por otro lado, si se conocen dos términos consecutivos a_n y a_n+1de la progresión geométrica y no se conoce la razón r, se puede calcular la razón r dividiendo dichos términos como lo indica la siguiente ecuación:

Ejemplo:

Se tiene la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24, 48, … observa que cualesquiera dos términos consecutivos tienen la razón r=2, ya que al aplicar la ecuación anterior se obtiene que:

r=6/3=2

r=12/6=2

r=24/12=2

r=48/24=2

Término general de una progresión geométrica.

El término general de una sucesión es la expresión a_n que permite conocer cualquier término en función de su posición n.

Al momento de querer conocer el valor del término general a_n, te puedes enfrentar a dos situaciones:

1Si conoces al primer término a₁ y a la razón r . En este caso es posible conocer a cualquier otro término de la progresión con el uso de la siguiente fórmula:

a_n = a₁ · r^n-1

Ejemplo:

Tienes la siguiente progresión, y te piden calcular el valor del término de la posición 20:

3, 6, 12, 24, 48, …

Identifica que a₁=3, la razón r =2 y como te piden conocer el valor del término 20, entonces n=20; al sustituir estos valores en la fórmula obtienes que:

a₂₀ = 3· 2^20-1 = 3· 2¹⁹ = 1, 572, 864

Por lo tanto, el valor del término 20 es 1, 572, 864.

2ºCuando no conoces el primer término a₁ de la progresión geométrica, pero conoces cualquier otro término a_k y a la razón r. En este caso es posible calcular cualquier termino a_nusando la siguiente ecuación:

a_n = a_k · r^n-k

Donde k es el número de la posición del término que conoces y n es la posición del término que deseas conocer.

VIDEO EXPLICACIÓN

Ejemplo:

Supón que a_k es igual a 24, donde k=4 y la razón r=2, al sustituir los valores en la fórmula tienes que:

a_n = a₄ · 2^n-4

Ahora, si quieres conocer el valor de a1, se calcula de la siguiente manera:

a₁ = 24· 2^1-4= (24)· 2^-3= (24)(1/8) =3

Ahora, en el caso de querer conocer el valor de a₁₀ se calcula de la misma manera que el ejemplo anterior:

a₁₀ = 24· 2^10-4= (24)· 2⁶= 1536

No olvides que n es la posición del término que deseas conocer.

Como te darás cuenta no importa qué termino a_n se quiere conocer, pues se calcula con la fórmula adecuada dependiendo la situación. Ya sea conociendo al primer término a1 o a cualquier otro a_k de la progresión geométrica, junto con la razón r.

Interpolación de n términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números a y b, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los elementos a y b, y a una cantidad determinada de valores intermedios. Para lograr esto, es necesario saber cuántos elementos m se quieren interpolar, y con esta información calcular la razón r adecuada. Ya que con r y el valor de a, se construye la progresión geométrica.

La fórmula para conocer a la razón r adecuada para interpolar a m medios geométricos entre a y b es la siguiente:

Ejemplo:

Interpolar 3 medios geométricos entre a=-2 y b=-4802. Primero se busca a la razón r adecuada.

{$$r=\sqrt[3+1]{\frac{-4802}{-2}}=\sqrt[4]{2401}=\sqrt[4]{7^4}=7

Ya que se sabe que r=7, se usa para construir la progresión geométrica tomando como primer valor al a=-2 y se va multiplicando por la razón r=7 sucesivamente, obteniendo:

-2, -14, -98, -686, -4802.

Observa que se han interpolado 3 números entre -2 y -4802, formando la progresión.

Ejemplo:

Interpolar tres medios geométricos entre a=3 y b=48. Primero se busca la razón r adecuada.

{$$r=\sqrt[4]{\frac{48}{3}}=\sqrt[4]{16}=2

Observa que se usa la razón encontrada para construir la progresión geométrica, obteniendo:

3, 6, 12, 24 , 48.

De igual manera que el ejemplo anterior se han interpolado 3 números pero ahora entre 3 y 48, formando a la progresión deseada.

En conclusión, se pueden interpolar la cantidad de términos m que se necesiten, o deseen, entre a y b, sólo es cuestión de calcular la razón r adecuada haciendo uso de la fórmula.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

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Para lograr sumar a n términos consecutivos de una progresión geométrica, primero se necesita conocer la razón r, al primer término a₁ , y al número de valores n que se desea sumar de la sucesión.

Ya que se conocen estos datos se hace uso de la fórmula:

donde S_nes la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la siguiente progresión: 3, 6, 12, 24, 48, …

Se calcula a la razón r, dividiendo a dos valores consecutivos, como se vio en un principio

r=6/3 =2

ahora con r=2, n=5 y a₁=3 se sustituyen los valores en la fórmula, obteniendo que:

{$$S_5=3 \frac{2^5-1}{2-1}=3\frac{32-1}{1}=3(31)=93

y con esto se conoce el resultado de sumar a los n términos solicitados, dando como resultado:

3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93

Observa que una ventaja de realizar la suma de n términos con este procedimiento es que se ahorra mucho trabajo, a diferencia de hacer la suma de manera directa, ya que existe la posibilidad de que la cantidad de términos n a sumar sea muy grande.

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Hay ocasiones donde se necesita sumar a todos los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada. Para que tenga sentido la suma es necesario que el valor de la razón esté comprendido entre -1 y 1, de lo contrario no es posible realizar la suma, ya que no tendría resultado numérico.

La fórmula que te ayuda a conocer el resultado de sumar a todos los términos

con -1 < r < 1 es:

Con esta fórmula se calcula la suma de todos los términos de la progresión, es decir:

Ejemplo:

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada, formada por a₁=2 y r=0.5.

Recordemos que se debe tener al valor de r entre -1 y 1, y en nuestro caso r=0.5 , cumpliendo con la condición, significa que podemos seguir con el proceso.

Ahora se construye a la progresión:

y así sucesivamente (los puntos suspensivos indican que el proceso sigue sin terminar).

Entonces ya con esto, se conoce el resultado de la suma de todos los términos, sustituyendo en la fórmula:

significa que

{$$2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + ... = 4

llegando así al resultado buscado.

La suma que trabajamos ahora es distinta a la anterior, ya que aquí se han sumado una cantidad ilimitada de términos (anteriormente la suma era de una cantidad finita de términos) por tal razón, fue necesario ocupar la fórmula mencionada.

Producto de dos términos equidistantes

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Cuando se tiene una progresión geométrica, donde a₁es el primer término y a_nes el último, se entiende que dos valores son equidistantes, si se encuentran a la misma distancia tanto de un extremo como del otro de la progresión respectivamente, por ejemplo:

a₂equidista de a_n-1

a₃equidista de a_n-2

a₄equidista de a_n-3

y así sucesivamente.

Una propiedad indica que la multiplicación entre dos valores equidistantes, es igual al producto de los extremos de dicha progresión, es decir:

{$$a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=a_4a_{n-3}=...

Ejemplo:

Si tenemos a la siguiente progresión geométrica:

5, 10, 20, 40, 80, 160

podemos ver que el producto de los extremos

5 (160) = 800

es igual al producto de cualquier pareja de términos equidistantes, por ejemplo:

10 (80) = 800

20 (40) = 800

esta propiedad tiene la ventaja de multiplicar solamente a los extremos, para que así se conozca el resultado de multiplicar a cualquier pareja de términos equidistantes, y además se puede necesitar para futuros resultados.

Producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Si se busca multiplicar a una cantidad n de términos consecutivos de una progresión geométrica, es suficiente saber los valores de los extremos a₁y a_n, es decir, para conocer al producto de los términos

Se usa la fórmula:

en otras palabras, la fórmula permite saber de manera efectiva, el resultado del producto siguiente:

Ejemplo:

Calcular el producto de los 5 primeros términos de la progresión

3, 6, 12, 24, 48, …

Aquí podemos ver que a₁=3 a₅=48 con n=5 entonces la sustitución queda:

{$$P_5=\sqrt{(3\cdot 48)^5}=\sqrt{(3\cdot 3\cdot 2^4)^5}=\sqrt{3^{10}2^{20}}=3^52^{10}=248832

en otras palabras el resultado que se obtuvo es el siguiente:

(3) (6) (12) (24) (48) = 248, 832

y así como en la suma de n términos consecutivos, aquí también es más conveniente y práctico, conocer el resultado del producto con el uso de la fórmula pues se puede llegar a tener una gran cantidad de factores.

Cálculo del término general de una sucesión

El término general de una sucesión es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión, se representa por $a_{n}$ .