Teoría Sistema Ecuaciones

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema de ecuaciones y lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común

{\left\{ \begin{array}{l} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{array}\right. }

La solución de un sistema de ecuaciones es un par de números ${(x_{1}, y_{1})}$ tales que reemplazando {x} por ${x_{1}}$ , {y} por ${y_{1}}$ , se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Ejemplo:

{(2,3)} es solución del sistema de ecuaciones

{\left\{ \begin{array}{l} 3x-4y=-6 \\ 2x+4y=16 \end{array}\right. }

1ºPara verificar que {(2,3)} es solución del sistema de ecuaciones, se deben satisfacer las igualdades de cada ecuación.

2ºSustituimos {(2,3)} en el sistema de ecuaciones

{\left\{ \begin{array}{l} 3(2)-4(3)=-6 \\ 2(2)+4(3)=16 \end{array}\right. }

{\left\{ \begin{array}{l} 6-12=-6 \\ 4+12=16 \end{array}\right. }

{\left\{ \begin{array}{l} -6=-6 \\ 16=16 \end{array}\right. }

3ºComo se satisfacen ambas ecuaciones, concluimos que {(2,3)} es solución del sistema

Sistemas equivalentes

Criterios de equivalencia

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

x = 2, y = 3

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

x = 2, y = 3

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

x = 2, y = 3

4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Método de sustitución

Los pasos del método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones

2º Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita

3º Se resuelve la ecuación

4º El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada

5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

Ejemplo de método de sustitución

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{matrix} 5x - y = 6 \\ x + 3y = 10 \end{matrix}\right.

1º Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.

Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo

2º Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 ºResolvemos la ecuación obtenida:

4º Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada

5 ºSolución

El método de igualación

Pasos de resolución por el método de igualación

1º Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones

2º Igualamos las expresiones, lo que nos permite obtener una ecuación con una incógnita

3º Resolvemos la ecuación

4º Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita

5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

Ejemplo de sistema de ecuaciones resuelto por el método de igualación

\left\{\begin{matrix} 3x-4y=-6\\2x+4y=16 \end{matrix}\right.

1º Despejamos, por ejemplo, la incógnita de la primera y de la segunda ecuación:

\displaystyle x=16-4y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{16-4y}{2}

\displaystyle 3x-4y=-6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x= -6+4y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x= \frac{-6+4y}{3}

2º Igualamos las expresiones:

\displaystyle \frac{-6+4y}{3}=\frac{16-4y}{2}

3º Resolvemos la ecuación:

4º Sustituimos el valor de y, en cualquiera de las ecuaciones (en cualquiera de las , el resultado debe ser el mismo):

5º Solución:

Método de reducción

Pasos del método de reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción seguiremos los siguientes pasos:

1º Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por un numero tal que las ecuaciones resultantes tengan un coeficiente en común

2º Realizamos una resta (o suma según sea el caso de los signos de los coeficientes) para desaparecer (eliminar) una de las incógnitas

3º Se resuelve la ecuación resultante

4º El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve

5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

Ejemplos del método de reducción

En este caso, hay dos maneras de resolver el sistema de ecuaciones siguiente.

Por multiplicación

1º Eliminamos la x multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por −3

Multiplicación del sistema de ecuaciones

2º A la ecuación de arriba, le sumamos la ecuación de abajo y resolvemos la ecuación.

3º Sustituimos el valor de y en cualquiera de las 2 ecuaciones iniciales, en este caso la segunda.

4º La solución es:

Sumando (o restando) las ecuaciones directamente

Como esta ecuación nos lo permite eliminar la sin necesitar multiplicación, podemos hacer la suma de las ecuaciones sin prepararlas como en el método anterior.