Ecuaciones

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma

 con 

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Fórmula general para ecuaciones de segundo grado

La parte dentro del radical  es el discriminante, cuál nos brinda información acerca de la solución de nuestra ecuación.

El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

1)

Si el discriminante es positivo , es decir si  0″> la ecuación de segundo grado tiene 2 posibles soluciones que son números reales distintos..

2)

Si el discriminante es cero , es decir si , la ecuación de segundo grado tiene una solución doble.

3) b² –4ac<0

Si el discriminante es negativo , es decir b² –4ac<0, la ecuación de segundo grado no tiene soluciones dentro del conjunto de los números reales.

Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

La ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, la podemos escribir de la manera siguiente:

Siendo :

Ejemplo:

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:  y .

La ecuación es:

Factorización de un trinomio de segundo grado

Dada una ecuación de segundo grado completa:

Se puede descomponer en factores como sigue:

Ejemplo

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas 

1 

Para este caso observemos que:

Aplicamos la formula

2 

Para este caso observemos que:

Aplicamos la formula

3 

Si a < 0, multiplicamos los dos miembros por .

Observemos que:

Aplicamos la formula

Concepto de la ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son iguales a cero, por tanto podemos encontrarnos con tres tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas.

Primer caso

Cuando ambos coeficientes son iguales a cero, la ecuación de segundo grado incompleta es la siguiente:

Si    b=0     y     c=0    entonces    ax² = 0     (ecuación de segundo grado incompleta).

Para este tipo de ecuación la solución es siempre   x = 0.

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas caso uno

1   

2 

Segundo caso

Cuando el coeficiente c es igual a cero, la ecuación de segundo grado incompleta es la siguiente:

Si    c=0    entonces    ax² + bx = 0     (ecuación de segundo grado incompleta).

Veamos como se extraen las soluciones:

1 Extraemos factor común x.

2 Como tenemos un producto igualado a cero, o un factor es cero, o el otro factor es cero, o ambos son cero.

3 Por lo tanto, las soluciones son:

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas caso dos

1 

Sacamos el factor común x.

Como tenemos un producto igualado a cero,  igualamos los factores a cero.

Las soluciones son:

2 

Sacamos el factor común 3x.

Como tenemos un producto igualado a cero,  igualamos los factores a cero.

Las soluciones son:

Tercer caso

Cuando el coeficiente b es igual a cero, la ecuación de segundo grado incompleta es la siguiente:

Si    b=0    entonces    ax² + c = 0     (ecuación de segundo grado incompleta).

Veamos como se extraen las soluciones:

1Pasamos el término c al segundo miembro cambiando de signo.

2Pasamos el coeficiente a al segundo miembro, dividiendo.

3 Se efectúa la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad, y obtenemos dos soluciones uno positivo y otro negativo, es decir:

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas caso tres

1

Pasamos el término c al segundo miembro cambiando de signo.

Pasamos el coeficiente a al segundo miembro, dividiendo.

Se efectúa la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad, y obtenemos dos soluciones uno positivo y otro negativo, es decir:

2 

Pasamos el término c al segundo miembro cambiando de signo.

Pasamos el coeficiente a al segundo miembro dividiendo, pero como este es 1 el resultado es el mismo que el paso anterior.

Al efectuar la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad, obtenemos un radicando negativo el cual no tiene solución en los números reales.

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado

Dada una ecuación de seguno grado completa:

ax² + bx + c = 0

b² − 4ac se llama discriminante de la ecuación.

El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

1. b² − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

Ejemplo

La factorización sería:

ax² + bx +c = a (x − x₁) · (x − x₂)

x² − 5x + 6 = (x −2) · (x − 3₂)

2. b² − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

Ejemplos

La factorización sería:

ax² + bx +c = a (x − x₁)²

x² − 2x +1 = (x − 1)²

3. b² − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

Ejemplos

No se puede factorizar

Factorización de un trinomio de segundo grado

Dada una ecuación de segundo grado completa:

ax² + bx + c = 0

Se puede descomponer en factores como sigue:

a · (x – x₁) · (x – x₂) = 0

Ejemplos

1º . 

2º . 

Como tiene una raíz doble su factorización será:

3º . 

Este trinomio no se puede factorizar porque la ecuación no tiene raíces reales.