INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo:

Ejemplo

1) Resolver la ecuación 2 X – 1 < 7

2X – 1 < 7

2X<8

X<4

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo abierto de menos infinito a cuatro

Intervalo: $(-\infty ,4)$

2) Resolver la ecuación $2x-1\leq 7$

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de menos infinito a cuatro

Intervalo: $(-\infty ,4]$

3) Resolver la ecuación 7″>

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo abierto de cuatro a infinito

Intervalo: $(4,\infty )$

4) Resolver la ecuación $2x-1\geq 7$

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de cuatro a infinito

Intervalo: $[4,\infty )$

Criterios de equivalencia de inecuaciones

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

–X < 5

Inecuaciones lineales

Resolución de inecuaciones lineales

Consideremos la inecuación:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos, si son posibles realizarlos:

1) Quitar los signos de agrupación

2-\left [ -2x-2-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

2+2x+2+\cfrac{x-3}{2}\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

2) Quitar denominadores.

24+24x+24+6\cdot (x-3)\leq 8x-(5x-3)+36x

3) Agrupar los términos en a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4) Efectuar las operaciones

5) Como el coeficiente de la es negativo multiplicamos por , por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6) Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla

De forma gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de tres a infinito

Como un intervalo: $[3,\infty )$

Ejercicios de inecuaciones lineales

Representación gráfica del intervalo abierto de uno a infinito

$\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}$

Multiplicamos ambos miembros por el mcm de los denominadores

42\cdot \left (\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3} \right )\geq \left (\cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6} \right )\cdot 42

Representación gráfica del intervalo cerrado de un cuarto a infinito

\left [ \cfrac{1}{4},\infty \right ] — ———————————————————-

6\left ( \cfrac{x+1}{8}-\cfrac{2x-3}{16} \right )> 3\left ( \cfrac{3}{4}\; x-\cfrac{1}{4} \right )-\cfrac{3}{8}\, (3x-2)

\cfrac{6(x+1)}{8}-\cfrac{6(2x-3)}{16}> \cfrac{9}{4}\; x-\cfrac{3}{4} -\cfrac{9}{8}\, x+\cfrac{6}{8}

\left ( -\infty ,\cfrac{5}{3} \right ) — ————————————————————-

$\cfrac{2}{3}\left [ x-\left ( 1-\cfrac{x-2}{3} \right ) \right ]+1\leq x$

\cfrac{2}{3}\left [ x-1+\cfrac{x-2}{3} \right ]+1\leq x

\cfrac{2}{3}\, x-\cfrac{2}{3}+\cfrac{2x-4}{9}+1\leq x

Representación gráfica del intervalo cerrado de menos uno a infinito

Inecuaciones de primer grado

Una inecuación de primer grado es una desigualdad en la que la potencia de variable es uno.

Ejemplos:

X + 2 < 6 Es una inecuación de primergrado

${3(x-1)+2[2-x-3(x+2)]\ge 5(1-x)+3, \ \ }$ es una inecuación de primer grado.

x + 2 < 6 / x No es una inecuación de primer grado por que la variable se encuentra en el denominador

Resolución de una inecuación de primer grado paso a paso

Hallar los valores de {x} que satisfacen la inecuación

{2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] \le \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x}

1º Eliminamos primero los paréntesis y después los corchetes

{\begin{array}{rcl}2-\left[-2(x+1)-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2-\left[-2x-2-\displaystyle\frac{x-3}{2}\right] & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \\ && \\ 2+2x+2+\displaystyle\frac{x-3}{2} & \le & \displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x \end{array}}

2º Para eliminar los denominadores multiplicamos ambos lados de la inecuación por el mínimo común multiplo de los denominadores que aparecen en la inecuación, es decir, por {mcm(2,3,12)=12} y simplificamos las expresiones

{\begin{array}{rcl}(12)\left(2+2x+2+\displaystyle\frac{x-3}{2}\right) & \le & (12)\left(\displaystyle\frac{2x}{3}-\displaystyle\frac{5x-3}{12}+3x\right) \\ && \\ (12)4+(12)2x+(12)\displaystyle\frac{x-3}{2} & \le & (12)\displaystyle\frac{2x}{3}-(12)\displaystyle\frac{5x-3}{12}+(12)3x \\ && \\ 48 + 24x + 6(x-3) & \le & 4(2x)-(5x-3)+36x \\ && \\ 48 + 24x +6x - 18 & \le & 8x - 5x + 3 + 36x \\ && \\ 30 + 30x & \le & 3 +39x \end{array}}

3º Despejamos las {x} al lado izquierdo de la inecuación y las constantes al lado derecho. Para esto restamos {30} y {39x} en cada lado de la inecuación y simplificamos las expresiones

{\begin{array}{rcl}30 + 30x-(30)-(39x) & \le & 3 +39x -(30)-(39x) \\ && \\ -9x & \le & -27 \end{array}}

4º Para despejar {x} multiplicamos ambos lados de la inecuación por {-1/9} . Al multiplicar ambos lados por un número negativo, se cambia el sentido del símbolo de la inecuación

{\begin{array}{rcl}\left(\displaystyle\frac{-1}{9}\right)(-9x) & \ge & \left(\displaystyle\frac{-1}{9}\right)(-27) \\ && \\ x & \ge & 3 \end{array}}

5º También podemos expresar la solución de la inecuación en forma gráfica

Ejercicio solucion grafica de inecuacion

6º También podemos expresar la solución de la inecuación en forma de intervalo

Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas tiene como solución uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

Pasos para resolver inecuaciones con dos incógnitas

Vamos a resolver la inecuación: ${2x + y \le 3}$

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

{x = 0; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 2 \cdot 0 + y = 3; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 3; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0, 3)}

{x = 1; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 2 \cdot 1 + y = 3; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1, 1)}

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el {(0, 0)} , los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

Casos posibles de inecuaciones

Menor o igual

Tomamos el punto {(0, 0)} y lo sustituimos en la inecuación.

{2 \cdot 0 + 0 \le 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0 \le 3}

Como se cumple la desigualdad la solución es el semiplano donde se encuentra {(0, 0)} , incluyendo la recta porque tomamos los puntos menores y también los iguales

En este caso dibujamos la recta con trazo continuo

Menor

2x + y < 3

Tomamos el punto {(0, 0)} y lo sustituimos en la inecuación.

2 . 0 + 0 < 3 0 < 3

Como se cumple la desigualdad la solución es el semiplano donde se encuentra {(0, 0)}

En este caso (menor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución

En este caso dibujamos la recta con trazo discontinuo

grafica de inecuaciones con dos incognitas caso menor que

Mayor

Tomamos el punto {(0, 0)} y lo sustituimos en la inecuación.

3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0 > 3 }»> No

Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano donde no se encuentra {(0, 0)}

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

En este caso dibujamos la recta con trazo discontinuo

Mayor o igual

Tomamos el punto {(0, 0)} y lo sustituimos en la inecuación.

${2 \cdot 0 + 0 \ge 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0 \ge 3}$ No

Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano donde no se encuentra {(0, 0)}

En este caso (mayor o igual) los puntos de la recta pertenecen a la solución.

En este caso dibujamos la recta con trazo continuo

representación gráfica de inecuaciones con dos incognitas en caso mayor que

Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado

Lo primero que debemos hacer, es recordar ciertas propiedades de las ecuaciones de segundo grado, relacionadas con su tipo de soluciones:

Es posible conocer el tipo de soluciones que tendrá una ecuación de segundo grado

si es que tenemos el signo de su discriminante

$\displaystyle \bigtriangleup = b^2 -4ac$ .

donde hay tres casos posibles:

Si 0″>, entonces hay dos soluciones reales distintas

Si $\displaystyle \bigtriangleup = 0$ , entonces hay una única solución real, con multiplicidad dos
SI < 0 entonces no tiene solución real

Esta información será de utilidad, ya que nos permitirá realizar un proceso muy simple para conocer la solución de inecuaciones de segundo grado.

Es importante también, hacer notar que en términos generales, el proceso de solución de la inecuación consiste en:

Encontrar las soluciones de la ecuación

Ubicarlas en la recta real e identificar las secciones generadas

Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas

Buscar la solución de la inecuación

Y en dado caso que la ecuación no tenga solución real, no se secciona a la recta real, sin embargo también se busca el signo del polinomio y el proceso es análogo.

Entonces, dependiendo del signo del discriminante aplicaremos un proceso a seguir, por tal razón dividiremos el proceso en tres casos.

Primer caso:

Vamos a resolver la inecuación: 0″>

Ahora, debemos conocer el signo del discriminante

\displaystyle \bigtriangleup = (-6)^2-4(1)(8)=36-32=4 > 0

significa que existen dos soluciones reales distintas de la ecuación (o raíces del polinomio), y entonces ahora sigamos este proceso:

1º Encontrar las soluciones de la ecuación

Igualamos con cero al polinomio $\displaystyle x^2-6x+8=0$

Factorizamos $\displaystyle (x-4)(x-2)=0$

Y entonces las soluciones son: $\displaystyle x_1=2$ y $\displaystyle x_2=4$

vemos que las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante es mayor que cero.

2º Ubicarlas en la recta real e identificar las secciones generadas

Primero, ubicamos los valores obtenidos en la recta real, colocamos encima de ellos dos círculos vacíos con la finalidad de representar geométricamente, que en la inecuación no se permite la igualdad con cero, y además observamos que se generan tres regiones

Representación gráfica de intervalos 2 4

La razón de esto es la siguiente:

Si $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ , entonces el polinomio valuado en las soluciones, da como resultado cero

$\displaystyle p(2)=2^2-6(2)+8=4-12+8=0$

$\displaystyle p(4)=4^2-6(4)+8=16-24+8=0$

y por otro lado la inecuación 0″> al ser estrictamente mayor que cero, no admite valores que al evaluarlos en el polinomio, el resultado genere un cero, en este caso son justamente x_1=2 y x_2=4 .

Por esta razón se ponen los círculos vacíos, para quitar a los valores que no admite la inecuación y tomarlos únicamente como referencia.

En caso contrario, de admitir la inecuación iguadad con cero, se colocan círculos rellenos.

3º Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas

Como observamos en el paso anterior, se generaron tres secciones, así que por cada una de ellas seleccionemos a uno de sus valores y evaluemos en el polinomio para conocer su signo:

Para $\displaystyle (-\infty,2)$ , podemos seleccionar $\displaystyle x=0$ y evaluarlo en el polinomio $\displaystyle p(0)=8$ , resultando un valor positivo.

Para $\displaystyle (2,4)$ , podemos seleccionar $\displaystyle x=3$ y evaluarlo en el polinomio $\displaystyle p(3)=3^2-6(3)+8=9-18+8=-1$ , resultando un valor negativo.

Para $\displaystyle (4,\infty)$ , podemos seleccionar $\displaystyle x=5$ y evaluarlo en el polinomio $\displaystyle p(5)=5^2-6(5)+8=25-30+8=3$ , resultando un valor positivo.

esto significa que

Para todo elemento $\displaystyle x \in (-\infty,2)$ , el polinomio $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ siempre tendrá valores positivos

Para todo elemento $\displaystyle x \in (2,4)$ , el polinomio $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ siempre tendrá valores negativos

Para todo elemento $\displaystyle x \in (4,\infty)$ , el polinomio $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ siempre tendrá valores positivos

Representación gráfica de intervalos infinto 2 4

4º Buscar la solución de la inecuación

Con la información que hemos generado hasta ahora, ya podemos encontrar la solución de la inecuación

es decir, valores dentro de la recta real que al evaluarlos en el polinomio $\displaystyle p(x)=x^2-6x+8$ el resultado final que se obtenga debe de ser positivo, además distinto de cero. Entonces sólo hace falta buscar las regiones que cumplen la condición

En otras palabras, la solución es:

\displaystyle x \in (-\infty,2) \cup (4,\infty)

Variaciones posibles

1º Si la ecuación fuese $\displaystyle x^2-6x+8 \geq 0$ , significa que ahora si se admiten valores que al evaluarlos en el polinomio el resultado sea cero, razón por la que incluimos al dos y al cuatro, entonces la solución sería:

2º Si la ecuación fuese x²-6x+8 < 0 la solución sería

3º Si la ecuación fuese $\displaystyle x^2-6x+8 \leq 0$ , la solución sería:

Segundo caso: $\displaystyle \bigtriangleup = 0$

Vamos a resolver la inecuación: $\displaystyle x^2+2x+1 \geq 0$

Ahora, debemos conocer el signo del discriminante

\displaystyle \bigtriangleup = (2)^2-4(1)(1)=4-4=0

significa que existe una sola solución real, y entonces ahora sigamos este proceso:

1º Encontrar la solución de la ecuación

Si factorizamos $\displaystyle (x+1)^2=0$ , nos damos cuenta de que la solución es $\displaystyle x=-1$

2º Ubicarla en la recta real e identificar las secciones generadas

En este caso como tenemos a una solución, se generan dos secciones en la recta real

$\displaystyle (-\infty,-1)$ y $\displaystyle (-1,\infty)$

3º Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas

En este caso basta con conocer el signo del polinomio $\displaystyle p(x)=x^2+2x+1$ en alguno de los puntos de cualquiera de las dos secciones, ya que para ambas será el mismo resultado.
Si $\displaystyle x=0$ entonces $\displaystyle p(0)=0^2+2(0)+1=1$ , el cual es un resultado positivo, significa que:

Si $\displaystyle x \in (-\infty,-1) \cup (-1,\infty)$ entonces 0″>

Si $\displaystyle x=-1$ entonces $\displaystyle p(x)=0$

4º Buscar la solución de la inecuación

Como recordamos, la inecuación

tiene como solución, a valores de la recta real $\displaystyle x$ , tales que al evaluarlos en el polinomio $\displaystyle p(x)=x^2+2x+1$ el resultado final sea un número mayor o igual a cero, significa que de la información obtenida, nuestra solución es

\displaystyle x \in (-\infty,-1) \cup \left \{ -1 \right \} \cup (-1,\infty) = \mathbb{R}

Variaciones posibles

Inecuación	Factorización	Solución
$\displaystyle x^2+2x+1 \geq 0$	$\displaystyle (x+1)^2 \geq 0$	$\displaystyle \mathbb{R}$
0″>	0″>	$\displaystyle \mathbb{R}-\left \{ -1\right \}$
$\displaystyle x^2+2x+1 \leq 0$	$\displaystyle (x+1)^2 \leq 0$	$\displaystyle x=-1$
x²+2x+1 <0	(x+1)² < 0	$\displaystyle \varnothing$

Tercer caso:

Vamos a resolver la inecuación: 0″>

Ahora, debemos conocer el signo del discriminante

\displaystyle \bigtriangleup = (1)^2-4(1)(1)=1-4=-3

significa que no existe solución real, significa que ahora no se generan secciones, y entonces seguimos este proceso:

1º Escogemos a cualquier valor real y lo evaluamos en el polinomio para conocer el signo.

Escogemos a $\displaystyle x=0$ y lo evaluamos en el polinomio

quedando como resultado $\displaystyle p(0)=0^2+ 0 + 1=1$ el cual es un valor positivo.

Esto nos informa que para todo $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ el polinomio $\displaystyle p(x)=x^2+ x + 1$ siempre será positivo.

2º Buscar la solución de la inecuación

Como buscamos la solución de la inecuación 0″>, y ya sabemos que cualquier número real $\displaystyle x$ que sea ocupado para calcular $\displaystyle x^2+ x + 1$ siempre nos dará como resultado un número positivo, entonces todo número real se convierte en solución de la inecuación.

Si en dado caso, la inecuación fuese x²+ x + 1< 0 entonces la solución es vacío, ya que no hay número real $\displaystyle x$ que al ocuparlo para calcular $\displaystyle x^2+ x + 1$ no dé como resultado algún negativo, que es como lo pide la inecuación.

Variaciones posibles

	Solución
0″>	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle x^2+ x + 1 \geq 0$	$\displaystyle \mathbb{R}$
$\displaystyle x^2+ x + 1 \leq 0$	$\displaystyle \varnothing$
x²+ x + 1 < 0

Pasos para resolver inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Vamos a resolver la inecuación:

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

\displaystyle \left.\begin{matrix} x-2 &=& 0 \\ x-4&=& 0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left.\begin{matrix} x & = & 2 \\ x & = & 4 \end{matrix}\right\}

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

Representación gráfica de intervalos en la recta

3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

Consideremos

Ahora evaluemos en algún punto de cada uno de los intervalos generados, tomando en cuenta que no se puede evaluar en $\displaystyle x=4$ porque en ese lugar se indetermina la fracción, y recordando que $\displaystyle f(2)=0$

Si tomamos a $\displaystyle x=0$ del intervalo $\displaystyle (-\infty,2)$ , tenemos que

\displaystyle f(0)=\frac{0-2}{0-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}>0

el cual es un valor positivo

Si tomamos a $\displaystyle x=3$ del intervalo $\displaystyle (2,4)$ , tenemos que

el cual es un valor negativo

Si tomamos a $\displaystyle x=5$ del intervalo $\displaystyle (4,\infty)$ , tenemos que

\displaystyle f(5)=\frac{5-2}{5-4}=\frac{3}{1}=3>0

el cual es un valor positivo

Representación gráfica de intervalos en la recta de números

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

Ahora con esta información, ya podemos encontrar la solución, basta con tomar los intervalos que generan el mismo signo que tiene la inecuacion racional, es decir positivo e igual a cero, veamos: