FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función cuadrática

Las funciones polinómicas son aquellas constituidas por un polinomio, un ejemplo de estas es la función cuadrática o de segundo grado, representada con una gráfica de parábola y la siguiente ecuación:

Representación gráfica de la parábola

Para construir una gráfica de parábola se requiere conocer los siguientes elementos:

Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola, es decir, cuando el coeficiente del término $x^{2}$ es positivo el vértice será el punto más bajo de la gráfica y las fórmulas para encontrarlo son las siguiente:

x_{v}=-\cfrac{b}{2a}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{v}=f\left ( -\cfrac{b}{2a} \right )

V\left ( -\cfrac{b}{2a},f\left ( -\cfrac{b}{2a} \right ) \right )

Así mismo, la ecuación del eje de simetría es:

Puntos de corte con el eje X

Para encontrar el valor de cuando f(x)=0 , la segunda coordenada debe igualarse a cero, por lo que tendremos que resolver la siguiente igualdad:

Al resolver la ecuación anterior los resultados pueden ser:

Dos puntos de corte: $(x_{1},0)$ y $(x_{2},0)$ esto sucede si 0″>
Un punto de corte: $(x_{1},0)$ esto sucede si $b^{2}-4ac= 0$
Ningún punto de corte si <img src=»https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de1c6968f84eabe97541f252d18dbf5c_l3.png» alt=»b^{2}-4ac

Punto de corte con el eje Y

Para encontrar la intersección con el eje la primera coordenada debe igualarse a cero, x=0 , por lo que tendremos:

f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c=c\; \; \; \Rightarrow \; \; \; (0,c)

Ejemplo

Para representar la función $f(x)=x^{2}-4x+3$ es necesario encontrar los siguientes elementos que componen la parábola:

Vértice

Aplicamos las formulas descritas en el apartado anterior para encontrar la coordenadas del vértice que son:

x_{v}=-\cfrac{-4}{2}=2\; \; \; \; \; y_{v}=2^{2}-4\cdot 2+3=-1

Entonces las coordenadas del vértice son: V(2,-1)

Puntos de corte con el eje X

Para encontrar el punto o los puntos de corte con el eje X, igualamos la función con 0, tal como se indicó anteriormente:

Para resolver la ecuación, utilizamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

x=\cfrac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}=\cfrac{4\pm 2}{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \begin{matrix} x_{1}=3\\ x_{2}=1 \end{matrix}

En este caso hemos encontrado dos puntos de corte los cuales son: (3,0) y (1,0)

Punto de corte con el eje Y

Para encontrar el punto de corte con basta con conocer el valor de la constante que en este caso es y las coordenadas son: (0,3) .

Gráfica de la función cuadrática

Partimos de $y=x^{2}$

\begin{matrix} \hline x & & y=x^{2 }\\ \hline -2 & & 4 \\ -1 & & 1 \\ 0 & & 0 \\ 1 & & 1 \\ 2 & & 4 \\ \hline \end{matrix}

Traslación vertical

Si nuestra función es $y=x^{2}+k$

Donde:

0″>, entonces $y=x^{2}$ se desplaza hacia arriba unidades.
<img src=»https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54c02352ce9ea9031f39f5ecbc1227ab_l3.png» alt=»k, entonces $y=x^{2}$ se desplaza hacia abajo unidades.

En este caso el vértice de la parábola es: (0.k) .

Y el eje de simetría x=0 .

Desplazamiento vertical de la función x al cuadrado

Traslación horizontal

Para la ecuación $y=(x+h)^{2}$

Donde:

Si, 0″>, entonces $y=x^{2}$ se desplaza hacia la izquierda unidades.
Si, <img src=»https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ebc041a93b1010f00e3dead8028115b_l3.png» alt=»h, entonces $y=x^{2}$ se desplaza hacia la derecha unidades.