RADICALES

¿Cómo reducimos a común indice los radicales?

Para reducir a común índice dos a más radicales:

1º Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2º Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

Ejemplo de ejercicio de reducción a común indice de radicales

Poner a común índice los radicales:

1º En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: 2, 3 y

2º Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

3º Operamos con las potencias

Extracción de factores en un radical

Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

1º Un exponente del radicando es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Ejemplos:

a) $\sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3}$

b) $\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^{2}}$

2º Un exponente del radicando es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Ejemplo:

a) $\sqrt{12}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=2\sqrt{3}$

Descomponemos en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando

b) $\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^{3}}=2$

Descomponemos en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando

3º Un exponente del radicando es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Ejemplos:

a) $\sqrt{48}=\sqrt{2^{4}\cdot 3}=2^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ $\begin{matrix} 4 & | \underline{\, 2\, } \\ 0 & 2 \end{matrix}$

El exponente del es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (4) entre el índice (2) .

El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (0) es el exponente del factor dentro del radicando

b) $\sqrt[3]{243}=\sqrt[3]{3^{5}}=3\sqrt[3]{3^{2}}=3\sqrt[3]{9}$ $\begin{matrix} 5 & | \underline{\, 3\, } \\ 2 & 1 \end{matrix}$

Descomponemos en factores $243=3^{5}$

El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (5) entre el índice (3) .

El cociente obtenido (1) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (2) es el exponente dentro del radicando

Como el factor $2^{0}$ es igual a , no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía

En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando

c) $\sqrt{2\cdot 3^{2}\cdot 5^{5}}=3\cdot 5^{2}\sqrt{2\cdot 5}=75\sqrt{10}$

Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes $(2\; \textup{y}\; 5)$ por el índice (2) .

Cada uno de los cocientes $(1\; \textup{y}\; 2)$ obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos $(0\; \textup{y}\; 1)$ serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

d) $\sqrt[4]{2^{7}\cdot 3^{14}\cdot 5^{4}}=2\cdot 3^{3}\cdot 5\sqrt[4]{2^{3}\cdot 3^{2}}=270\sqrt[4]{72}$

Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes $(7,14\; \textup{y}\; 4)$ por el índice (4) .

Cada uno de los cocientes (1, 3 y 1) obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (3, 2 y 0) serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

Introducción de factores en un radical

1º Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.

Ejemplos:

a) $2\sqrt{3}$

Como el índice es , el factor fuera del radical (2) se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones

——————————————-

b) $2^{2}\cdot 3^{3}\sqrt[4]{6}$

Tanto el $2^{2}$ como el $3^{3}$ se introducen elevados al índice (4)

=\sqrt[4]{\left ( 2^{2} \right )^{4}\cdot \left ( 3^{3} \right )^{4}\cdot 2\cdot 3}

Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes

Multiplicamos las potencias con la misma base

———————————

c) $2\sqrt[3]{\cfrac{1}{4}}$

2\sqrt[3]{\cfrac{1}{4}}=\sqrt[3]{\cfrac{2^{3}}{4}}=\sqrt[3]{2}

d $2\sqrt[4]{\cfrac{5}{12}}$

2\sqrt[4]{\cfrac{5}{12}}=\sqrt[4]{\cfrac{2^{4}\cdot 5}{12}}=\sqrt[4]{\cfrac{2^{4}\cdot 5}{2^{2}\cdot 3}}=\sqrt[4]{\cfrac{20}{3}}

—————————————

e) $\cfrac{2}{3}\, \sqrt[3]{\cfrac{9}{4}}$

\cfrac{2}{3}\, \sqrt[3]{\cfrac{9}{4}}=\sqrt[3]{\cfrac{2^{3}\cdot 3^{2}}{3^{3}\cdot 2^{2}}}=\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}}

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.

\displaystyle a\sqrt[n]{k} + b\sqrt[n]{k} + c\sqrt[n]{k} = (a + b + c)\sqrt[n]{k}

Ejemplos:

1º $\displaystyle 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}$

Sumamos los coeficientes de los radicales

\displaystyle (2 - 4 + 1)\sqrt{2} = -\sqrt{2}

———————-

2) $\displaystyle 3\sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}$

Sumamos los coeficientes de los radicales

\displaystyle (3 - 2 - 1)\sqrt[4]{5} = 0

—————————

3) $\displaystyle \sqrt{12} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{75}$

Descomponemos en factores los radicandos:

\displaystyle 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 75 = 3 \cdot 5^2

De manera que las raíces son

\displaystyle \sqrt{2^2 \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2\sqrt{5^2 \cdot 3}

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

\displaystyle 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 10\sqrt{3}

Sumamos los coeficientes de los radicales

—————————

4) $\displaystyle \sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64}$

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

\displaystyle 4 = 2^2, \quad 8 = 2^3, \quad 64 = 2^8

De manera que

\displaystyle \sqrt[4]{2^2} + \sqrt[6]{2^3} - \sqrt[12]{2^6}

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por , en el segundo por y en el tercero por

\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2}

Sumamos los coeficientes de los radicales

Ejemplos de ejercicios de suma y resta de radicales

\displaystyle 2\sqrt{12} - 3\sqrt{75} + \sqrt{27}

\displaystyle 2\sqrt{2^2 \cdot 3} - 3\sqrt{3 \cdot 5^2} + \sqrt{3^3} = 4\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -8\sqrt{3}

\displaystyle \sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486} = \sqrt{2^3 \cdot 3} - 5\sqrt{6} + 2\sqrt{2 \cdot 3^5} = 2\sqrt{6} - 5\sqrt{6} + 9\sqrt{6} = 6\sqrt{6}

\displaystyle 2\sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80} = 2\sqrt{5} + \sqrt{3^2 \cdot 5} + \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5} - \sqrt{2^4 \cdot 5} =

\displaystyle \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^3} - \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} =

\displaystyle = 3 \sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}

\displaystyle \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}} =

\displaystyle = \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} + \sqrt[6]{2^2} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}

\displaystyle = 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2 \cdot \sqrt[3]{2}}}

\displaystyle = 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{15}{2} \sqrt[3]{2}

Multiplicación de radicales con el mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

\displaystyle \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}

Ejemplo:

\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Multiplicación de radicales con distinto índice

Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.

Ejemplos:

1º $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27} =$

Descomponemos en factores los radicandos

\displaystyle = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[4]{3^3}

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

\displaystyle \text{m.c.m.}(2, 3, 4) = 12

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 ,4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2 ,3) . Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

\displaystyle = \sqrt[12]{3^6} \cdot \sqrt[12]{\left( 3^2 \right)^4} \cdot \sqrt[12]{\left( 3^3 \right)^3} = \sqrt[12]{3^6 \cdot 3^8 \cdot 3^9} = \sqrt[12]{3^{23}} = 3 \sqrt[12]{3^{11}}

2º $\displaystyle \sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36} =$

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (2 , 3) y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes

\displaystyle \sqrt[6]{12^3} \cdot \sqrt[6]{36^2} = \sqrt[6]{\left( 2^2 \cdot 3 \right)^3 \cdot \left( 2^2 \cdot 3^2 \right)^2} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[6]{2^{10} \cdot 3^7} = 6\sqrt[6]{2^4 \cdot 3}

Descomponemos en factores y , realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores

División de radicales con el mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

Ejemplo:

\displaystyle \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}} = \sqrt[6]{\frac{128}{16}} = \sqrt[6]{\frac{2^7}{2^4}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2}

Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice

Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por

División de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Ejemplos:

1º $\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} =$

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. $\text{m.c.m.}(3, 2) = 6$ .

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices ( y ) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes ( y )

Descomponemos el en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos

\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{\left(2^2 \right)^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{2^4}{2^3}} = \sqrt[6]{2}

—————————————

2º $\displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} =$

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

\displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{\frac{256^3}{16^2}} = \sqrt[6]{\frac{\left( 2^8 \right)^3}{\left( 2^4 \right)^2}} = \sqrt[6]{\frac{2^{24}}{2^8}}

Simplificamos el radical dividiendo por el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores

\displaystyle = \sqrt[6]{2^{16}} = \sqrt[3]{2^8} = 2^2 \sqrt[3]{2^2} = 4 \sqrt[3]{4}

Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

\displaystyle \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}

Ejemplo:

1º $\displaystyle \left( \sqrt[3]{18} \right)^2 =$

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

\displaystyle\left(\sqrt[3]{18} \right)^{2}=\sqrt[3]{18^{2}}=\sqrt[3]{(2\cdot 3^2)^2}=\sqrt[3]{2^2\cdot 3^4}=3\sqrt[3]{12}

—————————————

2º $\displaystyle \left( \frac{\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[4]{18}}{\sqrt{6}}\right)^4 =$

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el del radical

\displaystyle \left( \frac{\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[4]{18}}{\sqrt{6}}\right)^4 =\frac{\sqrt[3]{(12)^4}\cdot \sqrt[4]{(18)^4}}{\sqrt{(6)^4}}=\frac{\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^4}\cdot 18}{\sqrt{(2\cdot 3)^4}}

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

= \displaystyle \frac{18 \sqrt[3]{2^8 \cdot 3^4}}{\sqrt{2^4 \cdot 3^4}}=18 \sqrt[6]{\frac{(2^8 \cdot 3^4)^2}{(2^4 \cdot 3^4)^3}}=18 \sqrt[6]{\frac{2^{16} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^{12}}}

Simplificamos el radical dividiendo por el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

\displaystyle 18\sqrt[6]{\frac{2^4}{3^4}}=18\sqrt[3]{\frac{2^2}{3^2}}=18\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2}

——————————————

3º Escribir en forma de radical las potencias:

\displaystyle 9^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{9}

\displaystyle 12^{0.2}=12^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{12}

4º Expresar como potencia fraccionaria

\displaystyle \frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}=x^{-\frac{1}{5}}

\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}=x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{6}}

\displaystyle \sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[5]{x^{2}}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{5}}=x^{\frac{15+10+12}{30}}=x^{\frac{37}{30}}

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\dot m]{a}

Ejemplo:

1º $\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}$

Multiplicamos los índices

\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}=\sqrt[24]{2}

——————————————–

2º $\displaystyle \sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}$

Introducimos el primer dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base

\displaystyle \sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{3}\cdot 2\sqrt[4]{2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{4}\sqrt[4]{2}}}

Introducimos el 2^4 en la raíz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices

\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{(2^{4})^{4}\cdot 2}}}=\sqrt[24]{2^{17}}

Racionalización

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones

Podemos distinguir tres casos:

Caso 1

Racionalización del tipo $\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}$

Se multiplica el numerador y el denominador por $\displaystyle \sqrt{c}$

$\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\left(\sqrt{c}\right)^{2}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\cdot c}$

Ejemplos:

$\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Caso 2

Racionalización del tipo $\displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}$

Se multiplica numerador y denominador por $\displaystyle \sqrt[n]{c^{n-m}}$

$\displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\sqrt[n]{c^{m}}\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot c}$

Ejemplo:

$\displaystyle \frac{2}{3\sqrt[5]{4}}=\frac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3\sqrt[5]{2^{2}}\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3 \sqrt[5]{2^{2}\cdot 2^{3}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt[5]{8}}{3}$

El radicando $4$ lo ponemos en forma de potencia: $2^{2}$

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de $2^{5-2} = 2^{3}$

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

Caso 3

Racionalización del tipo $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

$\begin{array}{rcl} a+b & \longrightarrow & a-b \\ && \\ -a+b & \longrightarrow & -a-b \\ && \\ a-b & \longrightarrow & a+b \\ && \\ -a-b & \longrightarrow & -a-b \end{array}$

También tenemos que tener en cuenta que: «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados«.

$\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Ejemplos:

$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

——————————–

$\displaystyle \frac{2}{4-2\sqrt{2}}$

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

$\displaystyle \frac{2}{4-2\sqrt{2}}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2})}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{16-4\cdot 2}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{8}=\frac{4+2\sqrt{2}}{4}$

$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}$

$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{2}(5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=\frac{2\sqrt{2}(5+2\sqrt{6})}{5^2-(2\sqrt{6})^2}=\frac{10\sqrt{2}+4\sqrt{12}}{25-4\cdot 6}=10\sqrt{2}+8\sqrt{3}$

parte-de-radicales

¿Cómo reducimos a común indice los radicales?

Ejemplo de ejercicio de reducción a común indice de radicales

Extracción de factores en un radical

Introducción de factores en un radical

Suma de radicales

Multiplicación de radicales con el mismo índice

Multiplicación de radicales con distinto índice

División de radicales con el mismo índice

División de radicales con distinto índice

Potencia de un radical

Raíz de un radical

Racionalización

Caso 1

Caso 2

Caso 3

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