ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

Las propiedades de las potencias

$a\neq 0$
$a^{0}=1$
$a^{1}=a$
$a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}$
$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$
$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$
$a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
$a^{n}\div b^{n}=(a\div b)^{n}$
si $a^{n}=a^{m}$ entonces

Resolución de ecuaciones exponenciales

Caso 1:Ambos miembros pueden expresarse en la misma base

Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.

Ejemplos

1º $\sqrt[3]{8^{x}}=65536$

Reescribimos el lado derecho como $8^{\frac{x}{3}}$ y descomponemos el número $65536=2^{16}$

Como $8=2^{3}$ , entonces:

Igualamos las potencias

———————————-

2º $\sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}$

Trasformamos las raíces en potencias de exponente fraccionario e igualamos los exponentes

Resolvemos la ecuación resultante:

—————————————-

3º $2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28$

Extraemos factor común $2^{x}$

Aplicamos la ley de potencia negativa y resolvemos las operaciones y despejamos $2^{x}$

Reescribimos la ecuación con la misma base e igualamos los exponentes

Caso 2: La suma de los términos de una progresión geométrica

Si tenemos la suma de los términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula:

Ejemplo

Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica:

Despejamos $2^{x}$ y expresamos ambos miembros con la misma base

Caso 3: Cambio de variable

Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.

Ejemplos

1) $2^{2x+1}-3\cdot 2^{x}+1=0$

En primer lugar aplicamos las propiedad del producto de potencias para quitar la suma del exponente.

Aplicamos la propiedad de potencia de otra potencia

Realizamos el cambio de variable $t=2^{x}$

Factorizando la ecuación y resolviendo

t_{1}=\cfrac{1}{2}\; \; \; \; \; t_{2}=1

Deshacemos el cambio de variable

\frac{1}{2}=2^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x_{1}=-1

1=2^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x_{2}=0

———————————-

2 ) $2-3^{-x}+3^{x+1}=0$

Aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes

Hacemos el cambio de variable $t=3^{x}$

Multiplicamos ambos miembros por

Factorizamos y resolvemos la ecuación

t_{1}=\cfrac{1}{3}\; \; \; \; \; t_{2}=-1

Deshacemos el cambio de variable

\cfrac{1}{3}=3^{x}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=-1

De la segunda ecuación no se obtiene solución

3) $4^{3x}=8^{x}+3$

Descomponemos en factores $4=2^{2}$ y $8=2^{3}$

Realizamos el cambio de variable

Deshacemos el cambio de variable solo con la solución positiva.

Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro aplicamos la propiedad:

Despejamos la

x=\cfrac{\log \cfrac{1+\sqrt{13}}{2}}{3\log 2}=0,441

Para la otra solución de signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.

Caso 4: No se pueden expresar ambos miembros con la misma base

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

\log_{a}a^{x}=\log_{a}b\; \; \; \; \; x\log_{a}a=\log_{a}b\; \; \; \; \; x=\log_{a}b

Ejemplo

) $10^{x+2}=5$

Tomamos logaritmos en los dos miembros

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

Como $\log10=1$

Despejamos